Série hypergéométrique

emilie1
emilie1
dans Analyse
Bonjour. Je recherche des référence sur les séries hypergéométriques, en particulier sur les relations linéaires qui engagent les séries hypergéométriques "contiguës") ( dans F(a,b,c,z) on change par exemple a en a+1,oui a-1); Voir par exemple dans Abramovitz-Stegun page 563 ( formules 15-2-10 à 15-2-27). D'où viennent ces formules, comment ont-elles été trouvées ?
Enfin, comment établir que c(c-a-b)F(a,b,c)=(c-a)(c-b)F(a,b,c+1) (avec c>a+1) sans utiliser les séries génératrices F(a,b,c,z) ?
D'avance, merci.

Réponses

  • Utilisateur anonyme
    Utilisateur anonyme
    ça serait utile de préciser où se trouve le 'semi-colon' dans les $a,b,c$ ... ou de façon équivalente les $p,q$ de $\phantom{}_pF_q(\cdot)$ ...
  • emilie1
    emilie1
    Bonjour et merci pour la réponse. Je n'ai pas bien compris la question concernant les a,b,c... Dans la doc jointe, je croyais avoir bien défini F(a,b,c,z) et F(a,b,c).
    J'ai trouvé une réponse à la deuxième question ( prouver l'égalité entre (c-a)(c-b)F(a,b,c+1) et c(c-a-b)F(a,b,c) "directement"). Il suffit de faire la différence entre les deux expressions , et de revenir aux sommes partielles d'ordre n . En regardant les premiers termes on voit des simplifications, et le calcul se fait très bien par récurrence sur n ( on divise en fait (X-a)(X-b) par (X+n)): Il ne reste qu'un terme qui tend vers zéro.
    Par contre, pour la première question, les formules citées paraissent bien "mystérieuses"...
  • P.
    P.
    Ces égalités de contiguïté remontent à Gauss. Mon ouvrage favori est Rainville, Special Functions 1960, très bébé et agréable. Tu peux regarder Lebedev, chez Dover, ou Harry Hochstadt Mathematics for Physicists très inspiré, chez Dover également. C'est en anglais, mais nous devons tous nous y mettre.
  • AP
    AP
    En fait la fonction hypergéométrique F que tu considères est dite celle de Gauss : c'est le cas $_2F_1(a,b,c,z)$ qui est une série entière de rayon de convergence 1, mais tu te limites à z=1, autorisé ici car a,b,c sont positifs avec c>a+b

    Par ailleurs, pour ta formule , le cas avec z tel que |z|<1, est une relation entre 3 séries entières , car il y a alors en plus un terme avec $_2F_1(a,b,c-1,z)$ et la preuve est presque "automatique" , car le développement en série entière étant unique, il s'agit de montrer que le coefficient de $z^n$ dans la formule (mise sous forme d'une combinaison linéaire nulle) est 0, pour tout n.
  • emilie1
    emilie1
    Bonjour . Je reprends le fil de cette discussion. En particulier avec le "presque automatique".... Il y a je crois quinze égalités de "contiguÏté" certaines faciles d'autres bien plus pénibles . Ma question était de savoir comment on les trouvait.
    Par exemple : c(c-1)(z-1)F(a,b,c-1,z)+c [c-1-(2c-a-b-1)z]F(a,,b,c,z)+(c-a)(c-b)zF(a,b,c+1,z)=0. C'est peut-être une histoire de décomposition en éléments simples de fractions rationnelles couplée avec l'opérateur X->X+1. D'avance, merci.
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