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un résultat général sur les suites.

Envoyé par pourexemple 
un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Bonjour
Une belle surprise ?

Soit $(u_n)\in \R^{\N^*}$, tel que $v_n=\frac{u_n}{n}$ croît en convergeant dans $\R$ et pour tout $n\in \N^*$, $ v_{n+2}-2v_{n+1}+v_n \leq 0$,
alors $u_{n+1}-u_{n}$ converge.


Bonne journée.



Edité 17 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par contrexemple.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
Bonjour !
En prenant $u_0=-1,\;n>0\implies u_n=n$ il y a un problème lorsque $m=n=0$
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
il faut aussi que $\frac{u_n}{n}$ décroit, ce qui n'est pas le cas avec ton exemple.
Oui, tu as raison (n=0) définition floue, je vais modifier mon énoncé



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par contrexemple.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
En fait je me rends compte que c'est évident.

Voilà, le résultat plus fort montrer qu'alors $u_{n+1}-u_{n}$ converge.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par contrexemple.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Tel quel, ton énoncé est faux.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Siméon.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Pourquoi ?
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Parce qu'on peut trouver une suite $(u_n)_n$ telle que $(u_n/n)_n$ est décroissante et convergente sans que $( u_{n+1} - u_n)_n$ converge. Par exemple
$$
u_n = n\sum_{m > \sqrt{n}} \frac{1}{m^2}.
$$
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
retrait des indices



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par contrexemple.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Une série $\sum_n a_n$ peut être convergente sans que $n\, a_n$ tende vers $0$.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Merci.
Retrait des indices, j'ai corrigé mon énoncé.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par contrexemple.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Maintenant c'est juste, mais c'est beaucoup moins surprenant qu'avant.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Exact.

Et comme cela c'est pas plus surprenant :

Soit $f$ croissante concave sur $\R^+$, et $a>0$ alors la suite $(n+1)\times af((n+1)\times a)-n\times af(n\times a)$ converge en l'infini.

Rassure-moi, c'est bien un corollaire (surprenant) de mon premier exo.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par contrexemple.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
Ce dernier message aussi, il va falloir que tu l'édites 17 fois pour arriver à un énoncé qui ne soit pas faux ?
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Corollaire étonnant souhaité :
Soit $f$ croissante concave et majorée de $\R^+$ dans $\R$ alors $f(x)=l+o(\frac{1}{x})$ en $+\infty$.
Dom
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
Heu...
$x \mapsto -x$ sur $\mathbb R^+$ ?


Pardon mal lu ("croissante").



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Dom.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
@contre-exemple : en effet, ce serait étonnant winking smiley
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Ce qui est dommage, c'est de ne plus avoir le message initial. Le fil de discussion perd tout son sens pour celui qui n'était pas là au début.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
C'est le secret de fabrication... grinning smiley

Le premier résultat était faux, il manqué l'hypothèse $v_{n+2}-2 v_{n+1}+v_n \leq 0$
Mais sans cette hypothèse on peut montrer que $\forall n,m \in {\N^*}^2, u_{n+m}\leq u_n+u_m$, c'était mon première énoncé, et je me suis rendu compte qu'en fait c'était évident.

Après le résultat est juste mais moins tape à l'oeil, et donc je me dis que si j'arrive à utiliser ce résultat pour prouver le corollaire souhaité, cela le rendrait plus attractif.

J'espère que ces quelques informations te permettront de donné du sens à ce fil.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
À propos du corollaire, que penser de la fonction
$$ x \mapsto 1-\frac1{\ln(x+2)} $$
Elle est définie sur $\R^+$ croissante, majorée et concave.
(Sauf erreur de ma part)



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par verdurin.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
"Converge en l'infini" ?.A mon époque, on disait divergente, mais j'ai dû rater des épisodes smiling smiley
Cordialement.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
@verdurin : tu as raison, mon corollaire souhaité est à revoir.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
À revoir vraiment.
je ne pense pas que l'on puisse trouver une fonction $h$ tel que, quelque soit la fonction $f$ vérifiant tes hypothèses, on ait $f(x)=\ell+o(h(x)) $ en $+\infty$ et $\lim_{+\infty}h=0$
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Bonsoir,

Je pense que le résultat à un intérêt en lui même.

Bonne soirée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Bonsoir,

Soit $f$ fonction croissante concave majorée sur $\R^+$ dans $\R$, alors $nf(n)-(n+1)f(n+1)$ converge.

Bonne soirée.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Bonjour,

un nouveau...

On pose $I=[1,+\infty[$ Soit $f\in C^1(I,I)$ tel que :
-$\forall x \in I, 2 x|f'(x)|^{\frac{1}{2}}\leq |f(x)|$,
-la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$,
et soit la suite récurrente $(x_n)_n$ tel que $x_0 \in I$ tel que $x_{n+1}=f(x_n)$.
Montrer qu'alors $x_n$ tend vers l'infini.

PS : en attente de validation.

Bonne journée.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Bonsoir,

Ce résultat est-il connu ?

$(a_n)_n$ une suite croissante convergente et $(u_n)_n$ une suite de réel positif, si la série de terme général $u_n(a_{n+1}-a_n)$ converge montrer alors la série de terme général : $\sqrt{u_n}(a_{n+1}-a_n)$ converge.

Bonne soirée.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
$a_n=1-1/n$ et $u_n=n^{\alpha}$ avec $\alpha$ bien choisi devrait donner un contre-exemple, non ?
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Bonjour @aléa,

Non, ce n'est pas un contre-exemple.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Ce résultat ne serait pas connu ?
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
Cela découle simple de l'inégalité, pour tout $x$ positif, $\sqrt{x} \le 1 + x$.

Connu, pas connu... C'est un exercice élémentaire. C'est comme si je demandais si 414351+5435345=5849696 était un résultat connu.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par 1528.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Par la même méthode et sous l'hypothèse $a_n$ tend vers l'infini, on obtient :
la série de terme général $u_n(a_{n+1}-a_{n})$ converge ssi alors la série de terme général $\frac{1}{u_n}(a_{n+1}-a_{n})$ diverge.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par pourexemple.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
Non. Contre-exemple avec $(u_n)$ constante égale à $1$. Je ne vois pas où tu veux en venir, je vais arrêter la discussion ici.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Oui désolé je me suis trompé ce n'est pas une équivalence.

Si quelqu'un voit une démonstration aussi simple que celle proposé par 1528 pour l'exercice précédent je suis preneur.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
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@YvesM: j'avais lu équivalence. Soit j'ai mal lu, soit ça a été modifié pendant que j'écrivais.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
avatar
Oui, j'avais bien écrit une équivalence que j'ai corrigé en même temps que tu postais ta réponse.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
Il faut que tu arrêtes de modifier tes messages... Tu vois bien les problèmes que cela pose non ? C'est vraiment détestable.
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
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Oui, c'est vrai désolé...
Re: un résultat général sur les suites.
il y a deux années
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