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un résultat général sur les suites.
Bonjour
Une belle surprise ?
Soit $(u_n)\in \R^{\N^*}$, tel que $v_n=\frac{u_n}{n}$ croît en convergeant dans $\R$ et pour tout $n\in \N^*$, $ v_{n+2}-2v_{n+1}+v_n \leq 0$,
alors $u_{n+1}-u_{n}$ converge.
Bonne journée.
Edité 17 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par contrexemple.
Bonjour !
En prenant $u_0=-1,\;n>0\implies u_n=n$ il y a un problème lorsque $m=n=0$
il faut aussi que $\frac{u_n}{n}$ décroit, ce qui n'est pas le cas avec ton exemple.
Oui, tu as raison (n=0) définition floue, je vais modifier mon énoncé
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par contrexemple.
En fait je me rends compte que c'est évident.
Voilà, le résultat plus fort montrer qu'alors $u_{n+1}-u_{n}$ converge.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par contrexemple.
Tel quel, ton énoncé est faux.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Siméon.
Parce qu'on peut trouver une suite $(u_n)_n$ telle que $(u_n/n)_n$ est décroissante et convergente sans que $( u_{n+1} - u_n)_n$ converge. Par exemple
$$
u_n = n\sum_{m > \sqrt{n}} \frac{1}{m^2}.
$$
retrait des indices
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par contrexemple.
Une série $\sum_n a_n$ peut être convergente sans que $n\, a_n$ tende vers $0$.
Merci.
Retrait des indices, j'ai corrigé mon énoncé.
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par contrexemple.
Maintenant c'est juste, mais c'est beaucoup moins surprenant qu'avant.
Exact.
Et comme cela c'est pas plus surprenant :
Soit $f$ croissante concave sur $\R^+$, et $a>0$ alors la suite $(n+1)\times af((n+1)\times a)-n\times af(n\times a)$ converge en l'infini.
Rassure-moi, c'est bien un corollaire (surprenant) de mon premier exo.
Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par contrexemple.
Ce dernier message aussi, il va falloir que tu l'édites 17 fois pour arriver à un énoncé qui ne soit pas faux ?
Corollaire étonnant souhaité :
Soit $f$ croissante concave et majorée de $\R^+$ dans $\R$ alors $f(x)=l+o(\frac{1}{x})$ en $+\infty$.
Heu...
$x \mapsto -x$ sur $\mathbb R^+$ ?
Pardon mal lu ("croissante").
Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par Dom.
@contre-exemple : en effet, ce serait étonnant 
Ce qui est dommage, c'est de ne plus avoir le message initial. Le fil de discussion perd tout son sens pour celui qui n'était pas là au début.
C'est le secret de fabrication... 
Le premier résultat était faux, il manqué l'hypothèse $v_{n+2}-2 v_{n+1}+v_n \leq 0$
Mais sans cette hypothèse on peut montrer que $\forall n,m \in {\N^*}^2, u_{n+m}\leq u_n+u_m$, c'était mon première énoncé, et je me suis rendu compte qu'en fait c'était évident.
Après le résultat est juste mais moins tape à l'oeil, et donc je me dis que si j'arrive à utiliser ce résultat pour prouver le corollaire souhaité, cela le rendrait plus attractif.
J'espère que ces quelques informations te permettront de donné du sens à ce fil.
À propos du corollaire, que penser de la fonction
$$ x \mapsto 1-\frac1{\ln(x+2)} $$
Elle est définie sur $\R^+$ croissante, majorée et concave.
(Sauf erreur de ma part)
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par verdurin.
"Converge en l'infini" ?.A mon époque, on disait divergente, mais j'ai dû rater des épisodes 
Cordialement.
@verdurin : tu as raison, mon corollaire souhaité est à revoir.
À revoir vraiment.
je ne pense pas que l'on puisse trouver une fonction $h$ tel que, quelque soit la fonction $f$ vérifiant tes hypothèses, on ait $f(x)=\ell+o(h(x)) $ en $+\infty$ et $\lim_{+\infty}h=0$
Bonsoir,
Je pense que le résultat à un intérêt en lui même.
Bonne soirée.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par pourexemple.
Bonsoir,
Soit $f$ fonction croissante concave majorée sur $\R^+$ dans $\R$, alors $nf(n)-(n+1)f(n+1)$ converge.
Bonne soirée.
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par pourexemple.
Bonjour,
un nouveau...
On pose $I=[1,+\infty[$ Soit $f\in C^1(I,I)$ tel que :
-$\forall x \in I, 2 x|f'(x)|^{\frac{1}{2}}\leq |f(x)|$,
-la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$,
et soit la suite récurrente $(x_n)_n$ tel que $x_0 \in I$ tel que $x_{n+1}=f(x_n)$.
Montrer qu'alors $x_n$ tend vers l'infini.
PS : en attente de validation.
Bonne journée.
Bonsoir,
Ce résultat est-il connu ?
$(a_n)_n$ une suite croissante convergente et $(u_n)_n$ une suite de réel positif, si la série de terme général $u_n(a_{n+1}-a_n)$ converge montrer alors la série de terme général : $\sqrt{u_n}(a_{n+1}-a_n)$ converge.
Bonne soirée.
Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par pourexemple.
$a_n=1-1/n$ et $u_n=n^{\alpha}$ avec $\alpha$ bien choisi devrait donner un contre-exemple, non ?
Bonjour @aléa,
Non, ce n'est pas un contre-exemple.
Ce résultat ne serait pas connu ?
Cela découle simple de l'inégalité, pour tout $x$ positif, $\sqrt{x} \le 1 + x$.
Connu, pas connu... C'est un exercice élémentaire. C'est comme si je demandais si 414351+5435345=5849696 était un résultat connu.
Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par 1528.
Par la même méthode et sous l'hypothèse $a_n$ tend vers l'infini, on obtient :
la série de terme général $u_n(a_{n+1}-a_{n})$ converge ssi alors la série de terme général $\frac{1}{u_n}(a_{n+1}-a_{n})$ diverge.
Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par pourexemple.
Non. Contre-exemple avec $(u_n)$ constante égale à $1$. Je ne vois pas où tu veux en venir, je vais arrêter la discussion ici.
Oui désolé je me suis trompé ce n'est pas une équivalence.
Si quelqu'un voit une démonstration aussi simple que celle proposé par 1528 pour l'exercice précédent je suis preneur.
@YvesM: j'avais lu équivalence. Soit j'ai mal lu, soit ça a été modifié pendant que j'écrivais.
Oui, j'avais bien écrit une équivalence que j'ai corrigé en même temps que tu postais ta réponse.
Il faut que tu arrêtes de modifier tes messages... Tu vois bien les problèmes que cela pose non ? C'est vraiment détestable.
Oui, c'est vrai désolé...
Sinon il y a d'autre équations fonctionnelles disponibles 65,66
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©Emmanuel
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