un résultat général sur les suites.
dans Analyse
Bonjour
Une belle surprise ?
Soit $(u_n)\in \R^{\N^*}$, tel que $v_n=\frac{u_n}{n}$ croît en convergeant dans $\R$ et pour tout $n\in \N^*$, $ v_{n+2}-2v_{n+1}+v_n \leq 0$,
alors $u_{n+1}-u_{n}$ converge.
Bonne journée.
Une belle surprise ?
Soit $(u_n)\in \R^{\N^*}$, tel que $v_n=\frac{u_n}{n}$ croît en convergeant dans $\R$ et pour tout $n\in \N^*$, $ v_{n+2}-2v_{n+1}+v_n \leq 0$,
alors $u_{n+1}-u_{n}$ converge.
Bonne journée.
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Réponses
En prenant $u_0=-1,\;n>0\implies u_n=n$ il y a un problème lorsque $m=n=0$
Oui, tu as raison (n=0) définition floue, je vais modifier mon énoncé
Voilà, le résultat plus fort montrer qu'alors $u_{n+1}-u_{n}$ converge.
$$
u_n = n\sum_{m > \sqrt{n}} \frac{1}{m^2}.
$$
Retrait des indices, j'ai corrigé mon énoncé.
Et comme cela c'est pas plus surprenant :
Soit $f$ croissante concave sur $\R^+$, et $a>0$ alors la suite $(n+1)\times af((n+1)\times a)-n\times af(n\times a)$ converge en l'infini.
Rassure-moi, c'est bien un corollaire (surprenant) de mon premier exo.
Soit $f$ croissante concave et majorée de $\R^+$ dans $\R$ alors $f(x)=l+o(\frac{1}{x})$ en $+\infty$.
$x \mapsto -x$ sur $\mathbb R^+$ ?
Pardon mal lu ("croissante").
Le premier résultat était faux, il manqué l'hypothèse $v_{n+2}-2 v_{n+1}+v_n \leq 0$
Mais sans cette hypothèse on peut montrer que $\forall n,m \in {\N^*}^2, u_{n+m}\leq u_n+u_m$, c'était mon première énoncé, et je me suis rendu compte qu'en fait c'était évident.
Après le résultat est juste mais moins tape à l'oeil, et donc je me dis que si j'arrive à utiliser ce résultat pour prouver le corollaire souhaité, cela le rendrait plus attractif.
J'espère que ces quelques informations te permettront de donné du sens à ce fil.
$$ x \mapsto 1-\frac1{\ln(x+2)} $$
Elle est définie sur $\R^+$ croissante, majorée et concave.
(Sauf erreur de ma part)
Cordialement.
je ne pense pas que l'on puisse trouver une fonction $h$ tel que, quelque soit la fonction $f$ vérifiant tes hypothèses, on ait $f(x)=\ell+o(h(x)) $ en $+\infty$ et $\lim_{+\infty}h=0$
Je pense que le résultat à un intérêt en lui même.
Bonne soirée.
Soit $f$ fonction croissante concave majorée sur $\R^+$ dans $\R$, alors $nf(n)-(n+1)f(n+1)$ converge.
Bonne soirée.
un nouveau...
On pose $I=[1,+\infty[$ Soit $f\in C^1(I,I)$ tel que :
-$\forall x \in I, 2 x|f'(x)|^{\frac{1}{2}}\leq |f(x)|$,
-la limite de $f$ en $+\infty$ est $+\infty$,
et soit la suite récurrente $(x_n)_n$ tel que $x_0 \in I$ tel que $x_{n+1}=f(x_n)$.
Montrer qu'alors $x_n$ tend vers l'infini.
PS : en attente de validation.
Bonne journée.
Ce résultat est-il connu ?
$(a_n)_n$ une suite croissante convergente et $(u_n)_n$ une suite de réel positif, si la série de terme général $u_n(a_{n+1}-a_n)$ converge montrer alors la série de terme général : $\sqrt{u_n}(a_{n+1}-a_n)$ converge.
Bonne soirée.
Non, ce n'est pas un contre-exemple.
Connu, pas connu... C'est un exercice élémentaire. C'est comme si je demandais si 414351+5435345=5849696 était un résultat connu.
la série de terme général $u_n(a_{n+1}-a_{n})$ converge ssi alors la série de terme général $\frac{1}{u_n}(a_{n+1}-a_{n})$ diverge.
Si quelqu'un voit une démonstration aussi simple que celle proposé par 1528 pour l'exercice précédent je suis preneur.