série harmonique

// code mathematica
P = Table[Prime[n], {n, 2000}];
For[n = 2,   n < 4000, n++; {
  r = Position[P, _?(# >= n &), 1]; k = r[[1]][[1]] - 1;
  res = Sum[Mod[Binomial[n, P[[kk]]],n], {kk, 1, k}];
  res = Mod[res, n];
     If [ Select[P, # == n &] == {}   &&  res == 0, 
   Print[{res, n}]  ]  
  }
 ]

• ${n \choose q} =\frac{n!}{q! (n-q)!} = \frac{n}{q}\frac{(n-1)!}{(q-1)! (n-q)!} = \frac{n}{q}{n-1 \choose q-1}$ . Si $q \not{|} n$ alors $q \ |{n-1 \choose q-1}$ et donc $n \ | {n \choose q}$
  
• si $p \ |\ n$, alors ${n-1 \choose p-1} \equiv 1 \bmod p$ et donc ${n \choose p} = \frac{n}{p}{n-1 \choose p-1} = \frac{n}{p}(ap+1) \equiv \frac{n}{p} \bmod n$
  $ {n-1 \choose p-1} = \frac{\prod_{m=1}^{p-1} (n-m)}{\prod_{m=1}^{p-1} m}$ et dans le corps $\mathbb{F}_p$, ça devient $\frac{(p-1)!}{(p-1)!} = 1$
  
• donc $\sum_{p < n} {n \choose p} = \sum_{p | n} {n \choose p} +\sum_{q <n, q \not{\,|} n} {n \choose q} \equiv \sum_{p | n} \frac{n}{p} \bmod n$
  et $\sum_{p | n} \frac{n}{p} \equiv 0 \bmod n \implies \sum_{p | n} \frac{1}{p} \in \mathbb{N}$ ce qui est impossible, d'où
  $$\boxed{n \text{ composé ne divise jamais } \sum_{p < n} {n \choose p}}$$