Contre-exemple série entière

Bonjour,

Bon à mon tour de dire peut-être une énormité:
$\sum \dfrac{z^n}{n}$ n'est elle pas de rayon de convergence $1$ et divergente en $1$ ?
Ou alors, je n'ai pas compris ce qui est demandé.

Cordialement,

Rescassol

tu peux chercher cela dans le Titchmarsh: "theory of functions"; ce qui est certain, c'est que si $R = 1$, il y a un point sur le cercle de convergence où les choses se passent mal d'une manière ou d'une autre ; en particulier si $a_n \geq 0$ la série entière admet $z=1$ comme point singulier; Il reste à définir point singulier: la fonction n'y est pas analytique. Sinon, Gelbaum et Olmsted ont écrit: "counterexamples in analysis mais je ne sais pas où il est dans ma bibbliothèque.

oui ce n'est pas défini en $0$, car j'ai donné des indices, pas de solutions

Ben, je ne suis pas sur de tout comprendre.
Le chapitre du livre de Rudin parle des points singuliers.
Si une fonction f est holomorphe sur le disque ouvert unité un point singulier est défini comme un point du bord du disque où on peut développer la fonction f en série entière si je lis bien. Cela n'exclut pas le fait que le développement en série entière en le centre du disque (z=0) ne converge pas en ce point-là :-D

Gilles:

Le problème est que si une fonction est holomorphe sur le disque ouvert unité un point du cercle unité peut être un point singulier mais cela n'empêche pas la convergence du développement en série entière de cette fonction en z=0 de converger en ce point singulier. :-D

voir:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_lacunaire

Gilles Benson a écrit:

mais la série initiale converge.

C'est bien pour cela que le théorème d'Hadamard et celui de Fabry ne sont surement d'aucune aide dans la recherche du contre-exemple demandé par Mickaël. :-D

J'imagine que la référence à Körner faite par Mickaël était plus précisément une référence à l'article:

Thomas W. Körner, "The behavior of power series on their circle of convergence", in Banach Spaces, Harmonic Analysis, and Probability Theory, Springer Lecture Notes in Mathematics #995, Springer-Verlag, 1983, 56-94.

?

(je ne peux pas le consulter alors je ne sais pas si cette référence est pertinente)

Ta fonction f n'est pas continue en $0$ sauf erreur.

Reuns a modifié sa fonction.

en gros mon idée c'est qu'il faut partir d'une fonction $f(z)$ qu'on sait analytique sur $D$ et continue sur $\overline{D}$, et montrer que $g(t) = e^{it}$ est suffisamment non Hölder-continue en $t= 0$ pour que sa série de Fourier diverge.

ça exclue donc $g(t) \sim t^a, a > 0$ donc $f(z) = (z-1)^a$, et ça nous dirige vers des trucs genre $g(t) \sim \frac{1}{\ln t}$, i.e. $f(z) = \frac{z}{\ln(1-z)}$.

après si ça ne marche pas on peut essayer $g(t) = \frac{1}{\ln \ln t}$, donc $f(z) = \frac{1}{\ln \ln (1-z)} + \ln z$ on un truc du genre

Dans l'article de Körner, page 85, il y a ce théorème de Marcinkiewitz que je ne connaissais pas:

Si $a_n\rightarrow 0$ quand $\mid n\mid \rightarrow \infty$ alors $\displaystyle \sum_{n=-N}^{n=N} a_n \exp(int)$ ne peut pas diverger partout de façon bornée.

Si je comprends bien ce théorème cela signifie qu'une fonction $f$ du disque unité dans $\mathbb{C}$ qui est ponctuellement la limite de $\displaystyle \sum_{n=-N}^{n=N} a_n z^n$ ne peut pas être prolongée en une fonction continue sur le disque unité entier?

PS:
Il y a le problème en z=0 de toute façon. Ma question n'est pas totalement pertinente. :-D

Si le développement en série entière en 0 de $\dfrac{x}{\ln(1-x)}$ diverge pour $x=1$ je n'ai pas l'impression que cela soit de façon explosive après vérification en faisant quelques calculs qui ne prouvent rien.

Cela dit, si on considère la fonction $Z(x)=\dfrac{x}{\ln(1-x)}+1$ j'ai l'impression que les coefficients de son développement en série de Taylor sont tous positifs.

PS:
Si on considère le développement en série entière à l'ordre 1998 en 0 de la fonction $f(x)=\dfrac{x}{\ln(1-x)}$ et qu'on l'évalue en $x=1$ on obtient une valeur négative proche de $0$. Pas certain que cette série soit divergente en $x=1$ même si $x=1$ est un point singulier. :-D

@remarque : c'est la question que je me posais, quand tu dis "aucune raison qu'elle soit continue" (la fonction harmonique conjuguée, ou la transformée analytique, ou la transformée de Hilbert, ou... elle a plein de noms) tu as des exemples, ou une idée de comment montrer que celle-ci est "souvent pas continue" ? et d'ailleurs tu la définis comment ?

$g_a(t) = \underbrace{ \lim}_{r \to 1^- }_{(dans \ L^2)} \sum_{n=0}^\infty r^n e^{int} \underbrace{c_n}_{ = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} g(t) e^{-int} dt}$ ??

@ reuns : non, pas la moindre idée. Si je pose $u(\theta)=\sum_{k\ge 1}(a_k\cos(k\theta)+b_k\sin(k\theta))$ (on peut laisser tomber le terme constant) alors $v(\theta)=\sum_{k\ge 1}(a_k\sin(k\theta)-b_k\cos(k\theta))$. Par hypothèse $u$ est continue, mais la continuité n'est pas une propriété qui se lit sur les coefficients de Fourier. Donc rien ne dit que $v$ est continue, et c'est probablement faux d'ailleurs. Comme $u\in L^2$, il est clair par contre que $v\in L^2$ et que sa série de Fourier converge presque partout.

$V(z)=\dfrac{z^2}{1+\ln(1-z)^2}$


me semble être "sympathique" aussi. :-)

PS:
J'ai l'impression que le développement de Taylor-Mclaurin de cette fonction évalué en $z=1$ tend vers $-\infty$

ce que je veux dire aussi, c'est qu'il est illusoire de chercher quelque chose du genre $\lim\limits_{N\to \infty} \displaystyle \sum_{n=0}^N a_n = \infty $ à cause du théorème d'Abel.

Une remarque (que j'espère pertinente).

Si $f$ est la fonction cherchée et que pour $|z|<1$ on ait $\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_nz^n$
Si on veut que cette série diverge en $1$ les coefficients $a_n$ ne peuvent pas tous être des réels de même signe (c'est une condition nécessaire mais hélas pas suffisante)

Autrement la série divergerait en $1$ de façon non bornée ce qui est incompatible, sauf erreur, avec le fait que la fonction $f$ est continue sur le disque unité fermé.

PS:
La fonction $f(z)=\dfrac{z}{\ln(1-z)}$ ne risquait pas d'être un bon choix.

j'ai déjà posé la question, désolé j'ai utilisé mes termes

polynomial approximation in Hardy space $H^\infty$

note cette question A Continuous Function with a Divergent Fourier Series et surtout sa réponse (alors qu'il s'y connait pas mal)

@remarque : il y a une démonstration qu'il en existe une, mais pas d'exemple explicite. En notant $\Lambda_N$ l'opérateur linéaire qui associe à $g$ la valeur de sa série de Fourier tronquée en $t = 0$ : $\sum_{n= -N}^N \frac{1}{2\pi} \langle g, e^{i n t} \rangle$, sa démonstration c'est que :

- sur l'espace de Banach $C(\mathbb{T})$ des fonctions continues $2\pi$ périodiques avec la norme $\|g\| = \sup_t |g(t)|$,

- la norme d'opérateur $\|\Lambda_N\| =\sup_{ g \in C(\mathbb{T})} \|\Lambda_N g\| $ n'est pas bornée quand $N \to \infty$

- alors par Banach-Steinhaus , il existe un $g \in C(\mathbb{T})$ tel que $\sup_N \|\Lambda_N g\| = \infty$, i.e. dont la série de Fourier diverge en $t= 0$

Et l'argument de David Ullrich c'est que $\|\Lambda_N\| = \int_0^{2\pi} |\frac{\sin((N+1/2)t)}{\sin(t/2)}|dt \sim \alpha \ln N$ la norme $L^1$ du noyau de Dirichlet

Par contre je ne vois pas comment adapter sa méthode à l'espace de Banach $H^\infty_C$ (des fonctions analytiques sur $|z| < 1$, continues sur $|z| \le 1$ avec la norme $\|f\| = \sup_{|z| \le 1} |f(z)|$). On peut prendre $\tilde{\Lambda}_N f = \sum_{n=0}^N \frac{1}{2\pi} \langle f(e^{it}),e^{i n t}\rangle= f_N(1)$, mais montrer que $\|\tilde{\Lambda}_N\| = \int_0^{2\pi} |\sum_{n=0}^N e^{i n t}|dt$ me parait pas évident