Contre-exemple série entière
Bonjour,
Je recherche une fonction $f : \bar{D} \to \mathbb{C}$ continue, où $\bar {D}$ est le disque unité fermé de $\mathbb{C}$ ainsi qu'une série entière $\sum a_nz^n$ de rayon de convergence $1$ telle que $f(z)=\sum a_nz^n$ pour $|z|<1$ avec la condition supplémentaire que $\sum a_nz^n$ diverge en un point du cercle unité (au moins).
Pour le moment j'ai commencé par trouver des séries entières qui convergent sur le cercle
Il y a un résultat qui nous dit qu'il faut chercher $f$ non injective car avec $f$ injective on aurait convergence uniforme de la série entière sur le disque fermé ...
Les théorèmes taubériens nous disent aussi qu'il faut chercher les $a_n$ assez gros et perso j'ai commencé en $\mathcal{O}(1)$. Par exemple avec : \[\sum_{n \geqslant 0} z^{2n}=1/(1-z^2)\]. Cette série ne converge pas sur le cercle et la fonction $1/(1-z^2)$ est malgré tout continue sur $\bar{D} \setminus \{-1,1\}$ mais ça ne suffit pas il faudrait la continuité partout.
Avez-vous des idées pour construire une telle fonction ?
Merci,
Je recherche une fonction $f : \bar{D} \to \mathbb{C}$ continue, où $\bar {D}$ est le disque unité fermé de $\mathbb{C}$ ainsi qu'une série entière $\sum a_nz^n$ de rayon de convergence $1$ telle que $f(z)=\sum a_nz^n$ pour $|z|<1$ avec la condition supplémentaire que $\sum a_nz^n$ diverge en un point du cercle unité (au moins).
Pour le moment j'ai commencé par trouver des séries entières qui convergent sur le cercle
Il y a un résultat qui nous dit qu'il faut chercher $f$ non injective car avec $f$ injective on aurait convergence uniforme de la série entière sur le disque fermé ...
Les théorèmes taubériens nous disent aussi qu'il faut chercher les $a_n$ assez gros et perso j'ai commencé en $\mathcal{O}(1)$. Par exemple avec : \[\sum_{n \geqslant 0} z^{2n}=1/(1-z^2)\]. Cette série ne converge pas sur le cercle et la fonction $1/(1-z^2)$ est malgré tout continue sur $\bar{D} \setminus \{-1,1\}$ mais ça ne suffit pas il faudrait la continuité partout.
Avez-vous des idées pour construire une telle fonction ?
Merci,
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Réponses
mais log(1+x) n'est-il pas ce que tu recherches?
PS:
C'était une énormité, désolé :-D
cette fonction n'est pas continue en x=-1, hélas.
Le problème c'est que $z \mapsto \log (1+z)$ n'est même pas définie en $-1$ par exemple ... après ça dépend comment tu définis ton logarithme mais bon j'ai des doutes...
Mais j'ai le sentiment que le contre-exemple que tu cherches, le développement en série entière aura ses coefficients qui ne sont pas tous positifs. B-)-
Bon à mon tour de dire peut-être une énormité:
$\sum \dfrac{z^n}{n}$ n'est elle pas de rayon de convergence $1$ et divergente en $1$ ?
Ou alors, je n'ai pas compris ce qui est demandé.
Cordialement,
Rescassol
il te faut soit un point de branchement, soit une singularité essentielle
donc regarde du côté de $z^a, Re(a) > 0$, ou celui de $z \ln z$,
ou encore $e^{1/z}$
[small]soit encore une frontière naturelle en $Im(z) = -1$, peut-être $\prod_{k=1}^\infty (1-e^{-k(z+1)+1})$, ou même $\prod_{k=1}^\infty (1-e^{-k(z+1)}) = \eta(-\frac{z+1}{2i \pi})e^{-\frac{z+1}{24}}$ [/small]
reuns : je vais essayer avec ces fonctions. Pour $\exp (1/z)$ ça n'est pas définit en $0$. Par contre le reste je vais regarder. Par contre ça n'est pas trivial à développer en séries entières ^^ Je te tiens au courant.
$a_n=1$ lorsque $n$ est une puissance de $2$ et $a_n=0$ sinon.
Posons $\eta_n=\exp(-\sqrt{n})$
La fonction $\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_n\eta_nz^n$
pourrait être le contre-exemple cherché.
Cette fonction serait continue (même plus régulière que ça) sur le disque unité mais la série entière ne converge en aucun point du cercle unité.
PS:
Hélas !!!!!!
Mon exemple est tout pourri.
Il illustre seulement qu'on ne peut prolonger holomorphiquement en aucun point du bord du disque unité cette fonction qui est pourtant continue sur le disque unité tout entier. Désolé. :-D
Le rayon de convergence est $1$ et la divergence sur le cercle est ok. Du coup il me reste à montrer que $f$ admet un prolongement régulier (ce sera mieux que continu)
EDIT. remplacement de "analytique" par "régulier"
EDIT 2. Non en fait il y a convergence sur le cercle unité ... j'avais mal recopié la série.
Du coup retour à zéro !
Le chapitre du livre de Rudin parle des points singuliers.
Si une fonction f est holomorphe sur le disque ouvert unité un point singulier est défini comme un point du bord du disque où on peut développer la fonction f en série entière si je lis bien. Cela n'exclut pas le fait que le développement en série entière en le centre du disque (z=0) ne converge pas en ce point-là :-D
$\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} z^{2^n}$
qui peut-être définie sur le disque ouvert unité.
Il est clair que la série entière ne converge pas sur tous les points du cercle unité (en z=1 par exemple) mais peut-elle être prolongée en une fonction continue sur la totalité du disque unité?
Cette fonction vérifie l'équation fonctionnelle,
$f(z^2)=f(z)-z$
(Rudin montre, si je comprends bien, que tous les points du cercle unité sont des points singuliers de cette fonction)
PS:
En fait, dans l'argument qu'il donne pour le fait que tous les points du bord du disque sont singuliers il y a:
$f$ est non bornée sur tout rayon du disque ouvert unité qui a pour extrémité $exp\left(i2k\pi/2^n\right)$
ce qui exclu le fait que $f$ puisse être prolongée en une fonction continue sur le disque unité entier. Désolé pour le dérangement :-D
si dans la série entière $f(z) = \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} a_nz^n$ , $a_n = 0$ sauf pour une suite d'entiers $n_k$ telle que $n_{k+1} >1+\theta)n_k$ avec $\theta > 0$, alors le cercle de convergence de la série est la frontière naturelle de la fonction, c'est à dire qu'il n'existe aucun prolongement analytique de $f$ hors du disque de convergence et en particulier la fonction n'est holomorphe en aucun point du cercle de convergence. L'exemple de fin de partie entre dans ce cadre de façon claire.
Le problème est que si une fonction est holomorphe sur le disque ouvert unité un point du cercle unité peut être un point singulier mais cela n'empêche pas la convergence du développement en série entière de cette fonction en z=0 de converger en ce point singulier. :-D
voir:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Série_lacunaire
Ce fait n'a rien à voir avec la convergence de la série initiale, ainsi $ \dfrac{1}{1+z} $ est holomorphe en $z=1$ mais la série initiale diverge. Par contre le dilogarithme $\displaystyle \sum_{n\geq1} \dfrac{z^n}{n^2}$ admet $z=1$ comme point singulier (voir un théorème sur les séries entières à coefficients positifs que j'ai rappelé plus haut) mais la série initiale converge.
Le fait pour la fonction de ne pas avoir de prolongement analytique au delà de ce point quand cela arrive est contraire à l'aspect local du caractère analytique. Ttitchmarsh est une excellente référence à ce sujet qui est peu étudié dans les bouquins plus récents et Rudin le donne comme référence générale pour les questions les questions élémentaires d'holomorphie et encore sur Phragmen-Lindelof. De plus, le théorème d'Hadamard que je donne est dans Rudin (th 16.6) dans le chapitre que tu as regardé où il définit la notion de régularité (vs singularité).
C'est bien pour cela que le théorème d'Hadamard et celui de Fabry ne sont surement d'aucune aide dans la recherche du contre-exemple demandé par Mickaël. :-D
Cela ne répond pas à la question... mais peut peut-être donner des pistes.
Thomas W. Körner, "The behavior of power series on their circle of convergence", in Banach Spaces, Harmonic Analysis, and Probability Theory, Springer Lecture Notes in Mathematics #995, Springer-Verlag, 1983, 56-94.
?
(je ne peux pas le consulter alors je ne sais pas si cette référence est pertinente)
(où $a_n$ est l'inverse convolutif de $b_n = \frac{1}{n+1}$)
si quelqu'un arrive à montrer que $\sum_{n=0}^\infty a_n$ diverge
Reuns a modifié sa fonction.
https://andrescaicedo.files.wordpress.com/2014/11/korner-behaviourofpowerseries.pdf :-)
ça exclue donc $g(t) \sim t^a, a > 0$ donc $f(z) = (z-1)^a$, et ça nous dirige vers des trucs genre $g(t) \sim \frac{1}{\ln t}$, i.e. $f(z) = \frac{z}{\ln(1-z)}$.
après si ça ne marche pas on peut essayer $g(t) = \frac{1}{\ln \ln t}$, donc $f(z) = \frac{1}{\ln \ln (1-z)} + \ln z$ on un truc du genre
Si $a_n\rightarrow 0$ quand $\mid n\mid \rightarrow \infty$ alors $\displaystyle \sum_{n=-N}^{n=N} a_n \exp(int)$ ne peut pas diverger partout de façon bornée.
Si je comprends bien ce théorème cela signifie qu'une fonction $f$ du disque unité dans $\mathbb{C}$ qui est ponctuellement la limite de $\displaystyle \sum_{n=-N}^{n=N} a_n z^n$ ne peut pas être prolongée en une fonction continue sur le disque unité entier?
PS:
Il y a le problème en z=0 de toute façon. Ma question n'est pas totalement pertinente. :-D
Fin de partie: " Ben, je ne suis pas sur de tout comprendre. " c'est la raison pour laquelle j'ai cité ces théorèmes ....
Le noyau de Poisson permet de reconstituer une fonction analytique sur le disque à partir d'une fonction définie sur le cercle et justement Rudin a donné quelques théorèmes concernant la nature des singularités possibles pour la fonction initiale.
C'est dailleurs le sens de l'intervention de reuns.
Cela dit, si on considère la fonction $Z(x)=\dfrac{x}{\ln(1-x)}+1$ j'ai l'impression que les coefficients de son développement en série de Taylor sont tous positifs.
PS:
Si on considère le développement en série entière à l'ordre 1998 en 0 de la fonction $f(x)=\dfrac{x}{\ln(1-x)}$ et qu'on l'évalue en $x=1$ on obtient une valeur négative proche de $0$. Pas certain que cette série soit divergente en $x=1$ même si $x=1$ est un point singulier. :-D
$\displaystyle a_{n+1}=\dfrac{1}{n!}\sum_{j=1}^{n+1} \dfrac{b(j)s(n,j-1)}{j}$
Où $b(j)$ est le j-ème nombre de Bernoulli et $s(n,j-1)$ le $(n,j-1)$ ème nombre de Stirling de première espèce.
Fin de partie : l'article de Körner est effectivement le bon et il est accessible en ligne au lien que tu donne
Sinon je vais regarder pour $$\frac{z}{\log (1-z)}$$. Par contre ça m'a pas l'air simple de calculer le DSE de cette fonction.
@remarque : j'ai pensé à un truc genre Baire ou Banach-Steinhaus mais ça n'est pas simple. Ou alors je ne vois pas. Parce que j'en ai aucune idée de se la fonction que l'on cherche est un cas générique ou non...
En tout cas cette question n'est pas simple et je suis ravi que cela vous plaise !
A mon avis :
- ce que j'ai dit tient toujours, si la série de $\frac{z}{\log(1-z)}$ converge, alors il faut regarder une fonction qui tend vers $0$ encore moins vite quand $z \to 1$, par exemple $f(z) = \frac{1}{\log \log(1-z)}$ [small](avec la bonne branche de $\log$ pour que ça soit analytique en $z=0$)[/small].
- la (seule ?) alternative c'est de partir d'une fonction $g(t)$, $2\pi$ périodique, continue telle que sa série de Fourier diverge en $t= 0 $, et de montrer qu'elle est "analytique" c'est à dire que $\int_0^{2\pi} g(t) e^{-int} dt = 0$ pour $n < 0$ (et donc que $f(z) = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} \frac{g(t)}{1-z e^{-it}} dt$ soit égale à $g(t)$ sur le cercle unité)
$g_a(t) = \underbrace{ \lim}_{r \to 1^- }_{(dans \ L^2)} \sum_{n=0}^\infty r^n e^{int} \underbrace{c_n}_{ = \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} g(t) e^{-int} dt}$ ??
$W(z)=\dfrac{z^2}{\ln\left(1+\ln(1-z)^2\right)}$
?
PS:
Si je n'ai pas la berlue, son développement de Taylor-Maclaurin tronqué à l'ordre 1000 évalué en $1$ "explose". B-)-
PS2:
Il y a un truc que j'ai perdu de vue. Cette fonction peut-elle être définie sur la totalité du cercle unité?
me semble être "sympathique" aussi. :-)
PS:
J'ai l'impression que le développement de Taylor-Mclaurin de cette fonction évalué en $z=1$ tend vers $-\infty$
- l'espace de Hardy $H^\infty$ , l'espace vectoriel (de Banach) des fonctions analytiques sur $D$ avec la norme $\|f\|_{H^\infty} = \sup_{|z| < 1} |f(z)|$.
- $H_C^\infty$ le sous-espace (fermé donc de Banach) des fonctions qui restent continues sur $\overline{D}$
- $H_K^\infty$ le sous-espace des fonctions dont la série (de Taylor) reste convergente sur $\overline{D}$, qui doit pouvoir être muni d'une (semi?) norme genre $\|f\|_{H_K^\infty} = \|f\|_{H^\infty} + \sup_{N,|z| \le 1} |f(z) - \sum_{n=0}^N \frac{f^{(n)}(0)}{n!} z^n|$
ça n'est pas vraiment évident que $H_C^\infty \subset H_K^\infty$, si ?
Par définition, les polynômes sont denses dans $H_K^\infty$, et par Stone-Weierstrass ils le sont aussi dans $H_C^\infty $, mais bon ça ne donne pas automatiquement que ces approximations polynomiales sont les séries de Taylor/Fourier tronquées..
Si $f$ est la fonction cherchée et que pour $|z|<1$ on ait $\displaystyle f(z)=\sum_{n=0}^{+\infty} a_nz^n$
Si on veut que cette série diverge en $1$ les coefficients $a_n$ ne peuvent pas tous être des réels de même signe (c'est une condition nécessaire mais hélas pas suffisante)
Autrement la série divergerait en $1$ de façon non bornée ce qui est incompatible, sauf erreur, avec le fait que la fonction $f$ est continue sur le disque unité fermé.
PS:
La fonction $f(z)=\dfrac{z}{\ln(1-z)}$ ne risquait pas d'être un bon choix.
sauf erreur, si $z_0=1-e^i$ alors $\ln(1-z_0)=i$ et $|z_0|<1$.
Donc, on ne peut pas définir la fonction $v(z)=\dfrac{z^2}{1+\ln(1-z)^2}$ sur le disque unité ouvert. :-D
Perso je n'ai pas trop avancé en fait. Les développements explicites sont difficiles à avoir et puis je suis à court d'idées. En fait la seule idée qui me paraissait pas mauvaise c'est celle où je parle de l'exemple de Körner d'une série entière de rayon de convergence $1$ qui diverge de manière bornée en (par exemple) un point du cercle. Ce serait vraiment bien de construire une telle série entière telle que sa valeur sur l'intérieur du disque ouvert se prolonge de manière continue sur le disque fermé. Cela dit tout mon charabia n'apporte rien de neuf à la conversation. Peut être devrais-je demander à un expert sur MO qui devrait avoir une réponse toute cuite ? Qu'en pensez-vous ?
polynomial approximation in Hardy space $H^\infty$
note cette question A Continuous Function with a Divergent Fourier Series et surtout sa réponse (alors qu'il s'y connait pas mal)
- sur l'espace de Banach $C(\mathbb{T})$ des fonctions continues $2\pi$ périodiques avec la norme $\|g\| = \sup_t |g(t)|$,
- la norme d'opérateur $\|\Lambda_N\| =\sup_{ g \in C(\mathbb{T})} \|\Lambda_N g\| $ n'est pas bornée quand $N \to \infty$
- alors par Banach-Steinhaus , il existe un $g \in C(\mathbb{T})$ tel que $\sup_N \|\Lambda_N g\| = \infty$, i.e. dont la série de Fourier diverge en $t= 0$
Et l'argument de David Ullrich c'est que $\|\Lambda_N\| = \int_0^{2\pi} |\frac{\sin((N+1/2)t)}{\sin(t/2)}|dt \sim \alpha \ln N$ la norme $L^1$ du noyau de Dirichlet
Par contre je ne vois pas comment adapter sa méthode à l'espace de Banach $H^\infty_C$ (des fonctions analytiques sur $|z| < 1$, continues sur $|z| \le 1$ avec la norme $\|f\| = \sup_{|z| \le 1} |f(z)|$). On peut prendre $\tilde{\Lambda}_N f = \sum_{n=0}^N \frac{1}{2\pi} \langle f(e^{it}),e^{i n t}\rangle= f_N(1)$, mais montrer que $\|\tilde{\Lambda}_N\| = \int_0^{2\pi} |\sum_{n=0}^N e^{i n t}|dt$ me parait pas évident
Edit : ça n'a malheureusement pas l'air d'être dans la partie consultable sur Google books. Mais il y a sûrement des trucs à glaner sur ces questions dans le Zygmund.
Merci d'avoir posé la question. Du coup tu la posteras sur MO si il n'y a pas de réponse d'ici quelques jours ?
EDIT. En fait je vois que Ullrich a répondu. Je vais lire sa réponse attentivement !