- on va montrer que quand $N \to \infty$ : $\|\tilde{\Lambda}_N\|_{(H^\infty_C)^*} \to \infty$, si bien que par Banach-Steinhaus, on a prouvé qu'il existe une fonction $f \in H^\infty_C$ telle que $\tilde{\Lambda}_N f$ diverge, i.e. que sa série de Taylor (Fourier) diverge en $z=1$ ($t=0$).
- supposons que $\forall N, \|\tilde{\Lambda}_N\| \le c$ donc que $\tilde{\Lambda}_N$ est uniformément borné sur les fonctions analytiques,
- alors $\Lambda_N$ est uniformément borné sur les polynômes trigonométriques
[small](on utilise que $\Lambda_N(e^{int} g(t)) = \Lambda_N(g(t))$, et donc que pour n'importe quel polynôme trigonométrique $p(t) = \sum_{n= -K}^K c_n e^{i n t}$, avec $q(t) = p(t) e^{i K t}$ on a que $\tilde{q}(z) = \sum_{n\ge 0} z^n \langle q(t),e^{i n t} \rangle$ est analytique et dans $H^\infty_C$, et que $\Lambda_N(p(t)) = \tilde{\Lambda}_{K+N}(\tilde{q}(z))-\tilde{\Lambda}_{K-N}(\tilde{q}(z))$ [small](ou un truc du genre)[/small]. Enfin, vu que $\|p\|_{C(\mathbb{T})} = \|\tilde{q}\|_{H^\infty_C}$, on obtient $|\Lambda_N(p(t))| \le 2c \|p\|_{C(\mathbb{T})}$)[/small]
- et donc par densité des polynômes trigonométriques dans $C(\mathbb{T})$, on a que $\|\Lambda_N\|_{C(\mathbb{T})^*} $ est uniformément borné, une contradiction (vu que $\|\Lambda_N\|_{C(\mathbb{T})^*} = \int_{-\pi}^\pi \frac{|\sin((N+1/2)t)|}{|\sin(t/2)|}dt$)
Bonsoir Monseigneur,
J'arrive après la bataille et je trouve ce fil très intéressant.
Une question sans rapport apparent avec la question du fil : Connais-tu une fonction qui envoie de façon holomorphe et bijective $\C$ (tous les complexes) sur $\mathbf D$ (le disque unité ouvert)?
Connais-tu une fonction qui envoie de façon holomorphe et bijective C (tous les complexes) sur D (le disque unité ouvert)?
Cela ne se peut pas.
$\mathbb{C}$ n'est pas un ensemble compact considéré comme un espace métrique, tandis que $D$ est compact.
Une fonction holomorphe de $\mathbb{C}$ dans $D$ est aussi une application continue dans la topologie induite par la structure d'espace métrique de $\mathbb{C}$ n'est-ce pas?
Et il me semble me souvenir que l'image d'un espace compact dans ce contexte est un espace compact.
En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.
PS:
J'ai omis un détail qui change tout. $D$ est le disque ouvert unité. Pardon pour le dérangement.
oui, sa construction a l'air de marcher, après il faut deux suites $N_k,M_k$ qui satisfont les conditions, genre $M_k = \lfloor e^{k^3} \rfloor$ et $ N_{k} = 3\sum_{l \le k} M_k$
Pour l'exemple explicite donné par Fejér d'une fonction continue dont la série de Fourier diverge à l'origine, vous pouvez-voir ici (un article de mon site de contre-exemples).
J'aime beaucoup l'exemple de Féjer même si je ne comprend pas vraiment d'où on peut le sortir ^^
Pour la question initiale je crois que le post sur MSE répond à la question, mais je ne suis pas totalement convaincu, je vais relire en détails, j'avoue que je n'ai pas trop eu le temps.
Réponses
- c'est la même preuve que pour montrer qu'il existe une fonction $2\pi$ périodique et continue dont la série de Fourier diverge en un point
- on va montrer que quand $N \to \infty$ : $\|\tilde{\Lambda}_N\|_{(H^\infty_C)^*} \to \infty$, si bien que par Banach-Steinhaus, on a prouvé qu'il existe une fonction $f \in H^\infty_C$ telle que $\tilde{\Lambda}_N f$ diverge, i.e. que sa série de Taylor (Fourier) diverge en $z=1$ ($t=0$).
- supposons que $\forall N, \|\tilde{\Lambda}_N\| \le c$ donc que $\tilde{\Lambda}_N$ est uniformément borné sur les fonctions analytiques,
- alors $\Lambda_N$ est uniformément borné sur les polynômes trigonométriques
[small](on utilise que $\Lambda_N(e^{int} g(t)) = \Lambda_N(g(t))$, et donc que pour n'importe quel polynôme trigonométrique $p(t) = \sum_{n= -K}^K c_n e^{i n t}$, avec $q(t) = p(t) e^{i K t}$ on a que $\tilde{q}(z) = \sum_{n\ge 0} z^n \langle q(t),e^{i n t} \rangle$ est analytique et dans $H^\infty_C$, et que $\Lambda_N(p(t)) = \tilde{\Lambda}_{K+N}(\tilde{q}(z))-\tilde{\Lambda}_{K-N}(\tilde{q}(z))$ [small](ou un truc du genre)[/small]. Enfin, vu que $\|p\|_{C(\mathbb{T})} = \|\tilde{q}\|_{H^\infty_C}$, on obtient $|\Lambda_N(p(t))| \le 2c \|p\|_{C(\mathbb{T})}$)[/small]
- et donc par densité des polynômes trigonométriques dans $C(\mathbb{T})$, on a que $\|\Lambda_N\|_{C(\mathbb{T})^*} $ est uniformément borné, une contradiction (vu que $\|\Lambda_N\|_{C(\mathbb{T})^*} = \int_{-\pi}^\pi \frac{|\sin((N+1/2)t)|}{|\sin(t/2)|}dt$)
J'arrive après la bataille et je trouve ce fil très intéressant.
Une question sans rapport apparent avec la question du fil : Connais-tu une fonction qui envoie de façon holomorphe et bijective $\C$ (tous les complexes) sur $\mathbf D$ (le disque unité ouvert)?
Une formule SVP, une formule.
Mon "Monseigneur" s'adressait à "Remarque". C'est son surnom sur le phorum.
Mais quelqu'un sait-il encore où se surnom trouve sa source ?
Cela ne se peut pas.
$\mathbb{C}$ n'est pas un ensemble compact considéré comme un espace métrique, tandis que $D$ est compact.
Une fonction holomorphe de $\mathbb{C}$ dans $D$ est aussi une application continue dans la topologie induite par la structure d'espace métrique de $\mathbb{C}$ n'est-ce pas?
Et il me semble me souvenir que l'image d'un espace compact dans ce contexte est un espace compact.
En espérant ne pas avoir écrit trop d'énormités.
PS:
J'ai omis un détail qui change tout. $D$ est le disque ouvert unité. Pardon pour le dérangement.
Si le disque unité ouvert était compact, ça se saurait :-D
Cordialement,
Rescassol
Reuns, pourquoi vouloir souffler sur le vent ? Podarge pourrait t'en vouloir ..........
Cordialement,
Rescassol
@autres : Tout ça m'intéresse beaucoup, j'espère que vous allez trouver !
http://math.stackexchange.com/questions/286119/continuity-of-analytic-function-implies-convergence-of-power-series
Pour la question initiale je crois que le post sur MSE répond à la question, mais je ne suis pas totalement convaincu, je vais relire en détails, j'avoue que je n'ai pas trop eu le temps.