Anayse Complexe
dans Analyse
Bonjour, j'ai besoin de piste pour cet exo:
soit $ f(z)=\begin{cases} e^{ -\frac{1}{z^4}}, & \text{si } z\ne 0 \\ 0, & \text{sinon } \end{cases} $.
Verifiez sur $C$ si $f$ verifie les conditions de Cauchy-Riemann.
j'ai voulu appliqué les conditions de Cauchy-Riemann mais je tombe sur des calculs très compliqués. Est ce que quelqu'un aurait une methode beaucoup plus simple à me proposer.
soit $ f(z)=\begin{cases} e^{ -\frac{1}{z^4}}, & \text{si } z\ne 0 \\ 0, & \text{sinon } \end{cases} $.
Verifiez sur $C$ si $f$ verifie les conditions de Cauchy-Riemann.
j'ai voulu appliqué les conditions de Cauchy-Riemann mais je tombe sur des calculs très compliqués. Est ce que quelqu'un aurait une methode beaucoup plus simple à me proposer.
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Réponses
$ g(z) = e^{-\frac{1}{z}} $ n'est pas holomorphe en $z_0=0$ car
$\lim_{z \to z_0} \frac{ f(z) - f(z_0)}{ z - z_0 } = \lim \frac{1}{z} e^{ - \frac{1}{z}} $
en posant $ Z = \frac{1}{z} $ on a
$\lim_{z \to z_0} \frac{ f(z) - f(z_0)}{ z - z_0 } = \lim_{Z \to \infty} Z e^{-Z} $
si $ Z \to +\infty $ on aura $0$ mais si $ Z \to -\infty $ on aura $-\infty$.
Maintenant pour $z \neq 0$ $f$ est holomophe car composé d'une fonction rationnelle et d'une fonction exponentielle.
$ f(z) = g(z^4) $ on peut dire que c'est holomorphe en $z \neq 0 $ car composé d'une fonction polynôme $z^4$ et de la fonction $g$.
Pour $e^{-1/z^4}$ c'est pareil : non bornée en suivant un chemin où $Re(-1/z^4) \to +\infty$ (par exemple $z = r e^{i \pi / 4}, r \to 0^+$).
Enfin en $z_0 \ne 0$, c'est holomorphe car de la forme $g(h(z))$ où $h(z) = -1/z^4$ est holomorphe $B_{z_0-\epsilon}(z_0) \to \mathbb{C}$ et $g(z) = e^{z}$ est holomorphe sur tout le plan complexe (et donc la composition des deux est holomorphe sur $B_{z_0-\epsilon}(z_0)$)
($B_{R}(z_0)$ c'est le disque $\{z \in \mathbb{C}, |z-z_0| < R\}$, mais tu peux le remplacer par n'importe quel ouvert sur lequel $-1/z^4$ est holomorphe et qui contient (un voisinage de) $z_0$)
f( r \exp(i \frac{\pi}{2}) ) = \exp(\frac{i}{r} ) = \cos( \frac{1}{r}) + i \sin(\frac{1}{r} ) $ et il est notoire que partie réelle et partie imaginaire n'ont pas de limite en zéro. Ensuite, l'argument de composition par un monôme continu permet de conclure.