point fixe suite récurrente
Bonsoir à tous,
voici une proposition:
Si la suite (U[small]n[/small]) est convergente vers un réel a appartenant à I (intervalle de R) et si f est continue en ce point, alors il est point fixe pour l'application f.
Ma question est la suivante:
Pourquoi suffit-il que f soit continue uniquement en a et pas sur I tout entier ?
Ne faut-il pas savoir que f est convergente sur pour que f(Un) converge vers f(a) ?
Désolé si mes interrogations semblent élémentaires pour vous, mais j'essaye de me rafraichir la mémoire...
Merci d'avance de vos réponses.
voici une proposition:
Si la suite (U[small]n[/small]) est convergente vers un réel a appartenant à I (intervalle de R) et si f est continue en ce point, alors il est point fixe pour l'application f.
Ma question est la suivante:
Pourquoi suffit-il que f soit continue uniquement en a et pas sur I tout entier ?
Ne faut-il pas savoir que f est convergente sur pour que f(Un) converge vers f(a) ?
Désolé si mes interrogations semblent élémentaires pour vous, mais j'essaye de me rafraichir la mémoire...
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Réponses
1/ Quel lien y a-t-il entre $(u_n)$ et $f$ ?
2/ Qu'est ce qu'une fonction convergente ?
e.v.
f est une fonction définie sur I à valeurs dans I où I est un intervalle de R.
1) La suite (Un) est définie de la façon suivante:
U[small]0[/small] appartient à I
pour tout n dans N, U[small]n+1[/small] = f(U[small]n[/small])
2) Erreur, je voulais parlais de f continue.
Si de plus $f$ est continue en $a$, alors la suite $(f(u_n))$ converge vers $f(a)$.
On a besoin de la continuité en $a$. Ailleurs, on s'en stérilise le cocotier.
C'est une bête histoire de composition des limites et basta.
Depuis que je sais que $u_{n+1}$ c'est la même chose que $f(u_n)$, je peux affirmer que $a=f(a)$.
Si la police des limites m'interroge, je lui brandis ma carte d'unicité de la limite.
On vit dans une topologie séparée, merdre quoi !
Une autre question ?
e.v.
Merci beaucoup ev.
Bonne soirée.