point fixe suite récurrente

Réponses

• ev

  October 2016

  Elémentaires, peut-être. Compréhensibles, surement pas.
  
  1/ Quel lien y a-t-il entre $(u_n)$ et $f$ ?
  2/ Qu'est ce qu'une fonction convergente ?
  
  e.v.

  Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
  
  
  
• robby3

  October 2016

  Oui, pardon, j'ai pas bien relu.
  
  f est une fonction définie sur I à valeurs dans I où I est un intervalle de R.
  
  1) La suite (Un) est définie de la façon suivante:
  
  U[small]0[/small] appartient à I
  pour tout n dans N, U[small]n+1[/small] = f(U[small]n[/small])
  
  2) Erreur, je voulais parlais de f continue.
• ev

  October 2016

  Dans ces conditions, si la suite $(u_n)$ converge vers $a$, alors la suite $(u_{n+1})$ converge aussi vers $a$ que $f$ soit continue, discontinue, biscornue ou même danseuse de tango.
  
  Si de plus $f$ est continue en $a$, alors la suite $(f(u_n))$ converge vers $f(a)$.
  On a besoin de la continuité en $a$. Ailleurs, on s'en stérilise le cocotier.
  C'est une bête histoire de composition des limites et basta.
  
  Depuis que je sais que $u_{n+1}$ c'est la même chose que $f(u_n)$, je peux affirmer que $a=f(a)$.
  Si la police des limites m'interroge, je lui brandis ma carte d'unicité de la limite.
  On vit dans une topologie séparée, merdre quoi !
  
  Une autre question ?
  
  e.v.

  Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.
  
  
  
• 1528

  October 2016

  Soient $I$ un intervalle de $\R$, $f : I \to I$ une application, $\ell$ un point de $I$ et $(u_n)_n$ une suite d'éléments de $I$. Si $(u_n)_n$ converge vers $\ell$ et si $f$ est continue en $\ell$ alors $(f(u_n))_n$ converge vers $f(\ell)$, par composition des limites.
• 1528

  October 2016

  J'ai rédigé plus tard une réponse moins complète et moins bien tournée. Snif.
• robby3

  October 2016

  C'est très clair et explicite!
  
  Merci beaucoup ev.
  Bonne soirée.