Suite équipotente

Salut,

La deuxième question semble plus délicate. Je n'ai pas vraiment d'idée sérieuse pour le moment, si je trouve quelque chose je te fais signe.

Bonjour,

Voici pour la question 2).

On définit deux suites numériques $x$ et $q$ par les relations de récurrences suivantes : pour tout $n$ entier non nul, $\displaystyle q_n = min\{q \in \N^* : {1 \over q} \leq x_n\}$ et $\displaystyle x_{n+1} = q_nx_n-1$ avec $\displaystyle x_1=x.$

Par définition, on a $\displaystyle {1 \over q_n-1} >x_n$ donc $q_nx_n-x_n<1$ et donc $\displaystyle x_{n+1} = q_nx_n-1 <x_n$ : la suite $x$ est strictement décroissante. Elle est minorée par $0.$ On a établi que la suite $x$ est convergente.

On sait que $\displaystyle {1 \over q_{n+1}} \leq x_{n+1} < x_n$ et, par définition de $\displaystyle q_n$, on a nécessairement $\displaystyle q_n \leq q_{n+1}$ : la suite $q$ est croissante.

On calcule : $\displaystyle V_1 -x = {1 \over q_1} - x_1 = {1-q_1x_1 \over q_1} = -{x_2 \over q_1}$,
puis $\displaystyle V_2 -x = {1 \over q_1q_2} + V_1-x = {1 \over q_1q_2} -{x_2 \over q_1} = -{x_3 \over q_1q_2}$,
et on montre par récurrence que, pour tout $n$ entier non nul : $\displaystyle V_n -x = -{x_{n+1} \over q_1q_2 \cdots q_{n}}$
puis, si $\displaystyle x \neq 1$, on a $\displaystyle q_1>1$ et alors : $\displaystyle |V_n -x| = |{x_{n+1} \over q_1q_2 \cdots q_{n}}| \leq {x_1 \over q_1^n} \to 0$ quand $n \to +\infty.$ Ce qui établit l'existence d'une suite $q$ telle que la suite $V$ converge vers $x$. Si $x=1$, alors la suite $q$ stationnaire et égale à $2$ convient. $\Box$

Exemple : $\displaystyle x=0.13$, $\displaystyle x_1 = 0.13$, $\displaystyle q_1 = 8$, $\displaystyle x_2 = 0.04$, $\displaystyle q_2 = 25.$ On a bien $\displaystyle 0.13 = {1 \over 8} + {1 \over 8 \times 25}.$

Il reste à montrer l'unicité. Je vous laisse chercher ;-).

hum,

tu ne dois pas prouver que les limites sont égales, tu dois prouver que les suites sont égales.

On a g(q)= g(q') implique que limVn=limV'n
Qui n'a de sens que si q= q'( esce-que c'est une affirmation gratuite ???? ) !!! D'où l'absurdité .

C'est justement ce que tu dois démontrer (et pas affirmer gratuitement !) : $g(q)=g(q') \Longrightarrow q=q'$
Ceci revient à démontrer que $q \ne q' \Longrightarrow g(q) \ne g(q')$ et je te conseille de considérer le premier indice $i$ tel que $q_i \ne q'_i$.

Non ça a l'air de marcher (je ne l'ai pas écrite), cela revient à comparer les sommes :

$\displaystyle \sum_{k=i}^{+\infty} {\dfrac{1}{q'_i \cdots q'_k}}$ et $\displaystyle \sum_{k=i}^{+\infty} {\dfrac{1}{q_i \cdots q_k}}$.

Bonjour @flipflop,

Pour l'unicité, ta démarche est la bonne. On définit la suite q comme celle que l'on a construite. Puisqu'on veut montrer l'unicité, on suppose qu'une autre suite r converge vers x et diffère de la suite q. Si le premier terme est différent, par majoration géométrique on obtient que x<=1/q1. Mais par définition, 1/q1<=x et donc x=1/q1. Mais on a par construction, x=x1. Comme la suite v est strictement croissante, x>v1=1/q1. Contradiction.

Exemple : si x=1/3, il faut la suite stationnaire 4, 4, 4, ... et q1=4.

Donc le premier terme est nécessairement égal entre q et r.

On traite le second terme... par différence entre q et r, le premier terme disparaît... et on montre une contradiction de la même façon avec q2 et x2.Il faut l'écrire proprement ...

@ekotto
On a (sauf erreur) $\displaystyle \sum_{k=i}^{+\infty} {\dfrac{1}{q'_i \cdots q'_k}} \leqslant \sum_{k=1}^{+\infty} {\dfrac{1}{q'^{k}_{i}}} \leqslant \dfrac{1}{q_i}$
Et $\displaystyle \sum_{k=i}^{+\infty} {\dfrac{1}{q_i \cdots q_k}} > \dfrac 1 {q_i}$

Si tu compares $g(q)$ et $g(q')$ cela revient à comparer les deux sommes que j'ai écrites car $q_j=q'_j$ pour tout $ 1 \leqslant j \leqslant i-1$

Très bonne conclusion. Oui, c'est un exercice assez technique ! Un exo de colle de mp$^{\star}$.

Si la suite est stationnaire : il existe $N$, tel que : $q_n=a$ pour $n \geq N$.

Alors :

$$
x:= \sum_{k=1}^{N-1}\frac{1}{q_1\dots q_k}+\sum_{k=N}^{\infty}\frac{1}{a^k}
$$

Les deux membres de la somme sont rationnels.

@ettoko
C'est la partie ($x$ rationnel) $\Longrightarrow$ ("La suite $(q_n)_{n \geqslant 1}$ est stationnaire) qui est la moins simple.

Démontre-le déjà si $x=\dfrac 1 q$ puis essaie une récurrence sur $p$ pour $x=\dfrac p q$.