lemme sur l'unicité de la limite

Bonjour à tous,
J'étudie le chapitre sur les fonctions continues du livre : Mathématiques L1 ed. Pearson écrit sous la direction de J.P.Marco et L.Lazzarini et je ne parviens pas à comprendre la conclusion de la preuve du lemme suivant.

Lemme 20.3. Soit $ a $ un point de $ \mathbb {R} $ et $ f $ une fonction sur un voisinage épointé $ V $ de $ a $. Si $ f $ admet des limites $ l $ et $ l' $ en $ a $ suivant $ V $, alors $ l = l' $.

Preuve. Soit $ I $ un intervalle ouvert inclus dans $ V $ et contenant $ a $. Pour $ \varepsilon \in \mathbb {R}_{+}^{*} $ fixé, il existe $ \eta \in \mathbb {R}_{+}^{*} $ (resp. $ \eta ' \in \mathbb {R}_{+}^{*} $ ) tels que si $ t $ et $ t' $ sont dans $ I $ et vérifient $ 0 < |t - a| < \eta $ et $ 0 < |t' - a| < \eta' $, alors $ |f(t) - l| < \varepsilon $ et $ |f(t') - l| < \varepsilon $.
Soit $ t'' \in I $ tel que $ 0 < |t'' - a| < \min(\eta,\eta') $. En utilisant l'identité $ l - l' = l - f(t'') + f(t'') - l' $ et l'inégalité triangulaire, nous obtenons \begin{equation*}
|l - l'| \le |f(t'') - l| + |f(t'') - l'| < 2\varepsilon.
\end{equation*} Donc, pour tout $ \varepsilon \in \mathbb {R}^{*}_{+} $, $ |l - l'| < 2\varepsilon $, ce qui entraîne que $ l - l' = 0 $, donc $ l = l' $.

Quelques détails sur le raisonnement sous-jacent de la dernière phrase me serait d'une aide profitable.