lemme sur l'unicité de la limite
Bonjour à tous,
J'étudie le chapitre sur les fonctions continues du livre : Mathématiques L1 ed. Pearson écrit sous la direction de J.P.Marco et L.Lazzarini et je ne parviens pas à comprendre la conclusion de la preuve du lemme suivant.
Lemme 20.3. Soit $ a $ un point de $ \mathbb {R} $ et $ f $ une fonction sur un voisinage épointé $ V $ de $ a $. Si $ f $ admet des limites $ l $ et $ l' $ en $ a $ suivant $ V $, alors $ l = l' $.
Preuve. Soit $ I $ un intervalle ouvert inclus dans $ V $ et contenant $ a $. Pour $ \varepsilon \in \mathbb {R}_{+}^{*} $ fixé, il existe $ \eta \in \mathbb {R}_{+}^{*} $ (resp. $ \eta ' \in \mathbb {R}_{+}^{*} $ ) tels que si $ t $ et $ t' $ sont dans $ I $ et vérifient $ 0 < |t - a| < \eta $ et $ 0 < |t' - a| < \eta' $, alors $ |f(t) - l| < \varepsilon $ et $ |f(t') - l| < \varepsilon $.
Soit $ t'' \in I $ tel que $ 0 < |t'' - a| < \min(\eta,\eta') $. En utilisant l'identité $ l - l' = l - f(t'') + f(t'') - l' $ et l'inégalité triangulaire, nous obtenons \begin{equation*}
|l - l'| \le |f(t'') - l| + |f(t'') - l'| < 2\varepsilon.
\end{equation*} Donc, pour tout $ \varepsilon \in \mathbb {R}^{*}_{+} $, $ |l - l'| < 2\varepsilon $, ce qui entraîne que $ l - l' = 0 $, donc $ l = l' $.
Quelques détails sur le raisonnement sous-jacent de la dernière phrase me serait d'une aide profitable.
J'étudie le chapitre sur les fonctions continues du livre : Mathématiques L1 ed. Pearson écrit sous la direction de J.P.Marco et L.Lazzarini et je ne parviens pas à comprendre la conclusion de la preuve du lemme suivant.
Lemme 20.3. Soit $ a $ un point de $ \mathbb {R} $ et $ f $ une fonction sur un voisinage épointé $ V $ de $ a $. Si $ f $ admet des limites $ l $ et $ l' $ en $ a $ suivant $ V $, alors $ l = l' $.
Preuve. Soit $ I $ un intervalle ouvert inclus dans $ V $ et contenant $ a $. Pour $ \varepsilon \in \mathbb {R}_{+}^{*} $ fixé, il existe $ \eta \in \mathbb {R}_{+}^{*} $ (resp. $ \eta ' \in \mathbb {R}_{+}^{*} $ ) tels que si $ t $ et $ t' $ sont dans $ I $ et vérifient $ 0 < |t - a| < \eta $ et $ 0 < |t' - a| < \eta' $, alors $ |f(t) - l| < \varepsilon $ et $ |f(t') - l| < \varepsilon $.
Soit $ t'' \in I $ tel que $ 0 < |t'' - a| < \min(\eta,\eta') $. En utilisant l'identité $ l - l' = l - f(t'') + f(t'') - l' $ et l'inégalité triangulaire, nous obtenons \begin{equation*}
|l - l'| \le |f(t'') - l| + |f(t'') - l'| < 2\varepsilon.
\end{equation*} Donc, pour tout $ \varepsilon \in \mathbb {R}^{*}_{+} $, $ |l - l'| < 2\varepsilon $, ce qui entraîne que $ l - l' = 0 $, donc $ l = l' $.
Quelques détails sur le raisonnement sous-jacent de la dernière phrase me serait d'une aide profitable.
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Réponses
[small]Suis-je le seul qui ne voit pas le code LaTeX compilé ?[/small]
[C'est corrigé maintenant. ;-) AD]
Il s'agit de la conclusion. Pourquoi $ |l - l'| < 2\varepsilon $ entraîne-t-il $ l - l' = 0 $ ?
$$
\forall \epsilon>0, |l-l'| \le 2\epsilon.
$$
C'est plus clair ?
$2\varepsilon$ est un nombre strictement positif quelconque (*), donc |l-l'| est positif, plus petit que tout strictement positif.
Cordialement.
(*) aussi petit que tu veux en choisissant $\varepsilon$.
Soit $a$ un réel positif. Alors
$$
\big(\forall \epsilon>0, a \le \epsilon\big) \Rightarrow a=0.
$$
Tu peux chercher à démontrer cette propriété puis chercher l'appliquer. Ou chercher à adapter la preuve à ton cas.
\begin{equation}
\forall \epsilon > 0, \|l-l'\| \le \epsilon \mbox{ }(*)
\end{equation}
Tu peux maintenant oublier toute les autres propriétés de $l$ et $l'$. On utilise dans la suite uniquement le fait que $l$ et $l'$ sont deux réels fixés vérifiant (*). On en déduit $|l-l'|=0$
Il s'agit de conclure à partir de là. Tu peux procéder par l'absurde si tu veux. Suppose que $|l-l'|$ est non nul et montre que (*) n'est pas vérifiée.
C'est un réel ! (fixé dit-on parfois)
On peut aussi écrire :
Puisque la relation est vraie pour tout $\epsilon>0$, alors on peut dire que, pour tout $n$, $\alpha<\frac{1}{n}$.
C'est peut-être une manière de faire...(suggérée implicitement par d'autres messages probablement).
Tu as pour tout epsilon> 0, |l-l'| < epsilon, ça entraîne que | l- l'| = 0 donc l= l' !!! C'est tout aussi simple que cela !!!