Distribution et fonctions holomorphes

Les distributions holomorphes contiennent-elles les fonctions holomorphes ? (Distribution holomorphe = solution de Cauchy Riemann).

Un théorème classique dit qu'une distribution vérifiant l'équation de Cauchy-Riemann est NECESSAIREMENT une distribution associée à une fonction holomorphe.

Tu n'a pas d'autres distributions holomorphes que les fonctions holomorphes.

La question me fait plutôt penser à $x - \lfloor x \rfloor = \lim_{\epsilon \to 0} \frac{1}{4i\pi} (\log( e^{4i\pi (x+ i \epsilon)}-1)-\log( e^{-4i\pi (x- i \epsilon)}-1))$ où $\log(e^{4 i \pi z}-1)$ est choisie analytique sur $\Im(z) >0$ et $Im(z) < 0$.

Par la transformée de Fourier toutes les distributions tempérées sont de cette forme $ \lim_{\epsilon \to 0} f_1(x+i\epsilon)+f_2(x-i\epsilon)$ avec $f_1,f_2$ analytiques leur demi-plan.

Note que l'expression pour $x - \lfloor x \rfloor$ donne directement l'équation fonctionnelle pour $\zeta(s)$, en remplaçant $\zeta(s)=-s\int_0^\infty (x-\lfloor x \rfloor ) x^{-s-1}dx$ par $-s\int_0^{e^{ic}\infty} (x-\lfloor x \rfloor ) x^{-s-1}dx$ avec $c : 0 \to \pi/2$