Bonsoir à tous
Existe-t-il une formule qui exprime une distribution comme la dérivée au sens des distributions d'une fonction holomorphe.
Peut-être comme ça ? $$ T= \lim_{\varepsilon\to 0} \big(f(z+i\varepsilon ) - f(z-i\varepsilon )\big).
$$ Merci d'avance.
Réponses
Ta limite est étrange : il y a un $t\to a$ sous le $\lim$, mais il n'y a pas de lettre $t$ entre parenthèses.
Tu n'a pas d'autres distributions holomorphes que les fonctions holomorphes.
Par la transformée de Fourier toutes les distributions tempérées sont de cette forme $ \lim_{\epsilon \to 0} f_1(x+i\epsilon)+f_2(x-i\epsilon)$ avec $f_1,f_2$ analytiques leur demi-plan.
Note que l'expression pour $x - \lfloor x \rfloor$ donne directement l'équation fonctionnelle pour $\zeta(s)$, en remplaçant $\zeta(s)=-s\int_0^\infty (x-\lfloor x \rfloor ) x^{-s-1}dx$ par $-s\int_0^{e^{ic}\infty} (x-\lfloor x \rfloor ) x^{-s-1}dx$ avec $c : 0 \to \pi/2$