fonctions réglées et somme de Riemann

Bonjour !
En général on montre la convergence des sommes de Riemann pour les fonctions en escalier puis on passe aux fonctions réglées grâce à l'approximation uniforme..

@reuns : les fonctions réglées sont des limites uniformes de suites de fonctions en escalier. Une fonction réglée a au plus une infinité dénombrable de discontinuités.
L'exemple classique est celui de $f$ telle que $f(0)=1;\;\forall t\in[0,1]\setminus\Q,\;f(t)=0;\;f(t)=\dfrac1q$ lorsque $t=\dfrac pq$ irréductible.
$f$ est discontinue en tout rationnel de $[0,1]$.

Si tu notes $R(f,\sigma,\theta)$ la somme de Riemann pour une fonction $f$, une subdivision $\sigma$ et un pointage $\theta$ et si $\varphi$ est approximation uniforme à $\dfrac{\varepsilon}{3(b-a)}$ près de $f$ tu peux écrire :
$\displaystyle\int_a^bf-R(f,\sigma,\theta)=\int_a^bf-\int_a^b\varphi+\int_a^b\varphi-R(\varphi,\sigma,\theta)+R(\varphi,\sigma,\theta)-R(f,\sigma,\theta)$
et tu majores $\displaystyle\left\lVert\int_a^bf-\int_a^b\varphi\right\rVert$ par $\varepsilon/3$
$\displaystyle\left\lVert\int_a^b\varphi-R(\varphi,\sigma,\theta)\right\rVert$ par $\varepsilon/3$ (propriété des sommes de Riemann pour les fonctions en escalier)
$\left\lVert R(\varphi,\sigma,\theta)-R(f,\sigma,\theta)\right\rVert$ par $\varepsilon/3$

Ajout du 18-10 :
Des trois majorations la première et la troisième sont évidentes : tu te reposes bêtement sur la majoration uniforme.

Pour la deuxième, soit $\sigma=(x_0,\dots,x_n)$ la subdivision, $\delta$ son pas. $\varphi$ a $p$ discontinuités et on note $M=\lVert\varphi\rVert_{\infty}$. Si $A$ désigne l'ensemble des indices $k$ tels que $[x_{k-1},x_k]$ contient au moins une discontinuité, c'est un ensemble ayant au plus $2p$ éléments.
Alors, pour $k\in A$, $\displaystyle\left\lVert\int_{x_{k-1}}^{x_k}\varphi-(x_k-x_{k-1})\varphi(\theta_k)\right\rVert\leqslant2M\delta$ et pour $k\notin A$ le même terme vaut 0 (la fonction $\varphi$ étant constante sur l'intervalle).
Finalement, par sommation, $\displaystyle\left\lVert\int_a^b\varphi-R(\varphi,\sigma,\theta)\right\rVert\leqslant2M\delta(2p)$ et tu le rends inférieur à $\varepsilon/3$ par choix de $\delta$

Je trouve l'idée des $\epsilon$ discontinuités assez intuitive.

$f(x)$ (est bornée) et n'a aucune $\epsilon$ discontinuité ça veut dire que pour tout $a$, il existe $c$ tel que $\displaystyle\sup_{x,y \in [a-c,a+c]} |f(x)-f(y)| < \epsilon$, et donc $\int_A^B f(x)dx$ est bien définie à $\epsilon|B-A|$ près.

Ensuite si $f(x)$ a un nombre fini de $\epsilon$ discontinuités, pareil $\int_A^B f(x)dx$ est bien définie à $\epsilon|B-A|$ près, car ($f$ étant bornée) l'intégrale au voisinage des $\epsilon$ discontinuités est négligeable (et que le reste est bien défini à $\epsilon|B-A|$ près)

Et donc si pour tout $\epsilon$, $f(x)$ a un nombre fini de $\epsilon$ discontinuités, alors pour tout $\epsilon$, $\int_A^B f(x)dx$ est bien définie à $\epsilon$ près, ce qui est la définition de Riemann intégrable.

Le poly de la prepa agreg (interne) de Paris 7 traite les fonctions réglées.

Pas celui d'Analyse, mais celui "série intégrales probes".

https://www.math.univ-paris-diderot.fr/formations/prepa/agreginterne/index

Ne suffit-il pas de reconsidérer la subdivision en ce qui concerne les fonctions en escalier ?
Mais je n'ai peut-être pas compris le problème.

Tu peux tricher et utiliser le fait que les points de discontinuité sont de mesure nulle.

@Neptune :
Je t'ai ajouté à mon message initial des indications.
A ta disposition au cas où elles ne seraient pas suffisantes.