Inégalité classique ?
Bonjour,
Je tourne un peu en rond sur le problème suivant,
Soient $f,g:]0,+\infty[ \longrightarrow \mathbb R$ deux fonctions cm de carré intégrable. Montrer que
$$\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty} \dfrac{f(x)g(y)}{x+y}dxdy \leq C \Vert f \Vert_{2} \Vert g \Vert_{2} $$ Où $C$ est une constante absolue (pas besoin qu'elle soit optimale).
Une double application de L'inégalité de Cauchy-Schwarz ne semble pas être suffisante... (Il se peut que l'énoncé ait omis une hypothèse sur la positivité des fonctions $f$, $g$)
Pourriez vous me fournir une indication plutôt qu'une preuve ? Merci d'avance !
Je tourne un peu en rond sur le problème suivant,
Soient $f,g:]0,+\infty[ \longrightarrow \mathbb R$ deux fonctions cm de carré intégrable. Montrer que
$$\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty} \dfrac{f(x)g(y)}{x+y}dxdy \leq C \Vert f \Vert_{2} \Vert g \Vert_{2} $$ Où $C$ est une constante absolue (pas besoin qu'elle soit optimale).
Une double application de L'inégalité de Cauchy-Schwarz ne semble pas être suffisante... (Il se peut que l'énoncé ait omis une hypothèse sur la positivité des fonctions $f$, $g$)
Pourriez vous me fournir une indication plutôt qu'une preuve ? Merci d'avance !
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Réponses
Cordialement, j__j
C'est une version continue de l'inégalité de Hilbert disant que :
\begin{align}
\sum_{n=1}^{+\infty} \sum_{n=1}^{+\infty} \frac{a_n b_m}{n+m} \leq \pi \sqrt{\sum_{n=1}^{+\infty} a_n^2} \sqrt{\sum_{n=1}^{+\infty} b_n^2}.
\end{align}
Tu peux en trouver une preuve dans l'article du MAA "Hilbert's Inequality and Witten's Zeta-Function".
Tu as mieux
Si f,g positives avec f dans $L^p$ , et g dans $L^q$ avec 1/p+1/q=1
$\int_{0}^{+\infty}\int_{0}^{+\infty} \dfrac{f(x)g(y)}{x+y}dxdy \leq \pi/ \sin(\pi/p) N(p,f)N(q,g)$
où N(p,f) norme de f dans $L^p$
cm signifie "continue par morceaux" j'aurais dû le préciser
Peut-on avoir l'article de l'AMM ?
Bonne journée.
F. Ch.
Bonne journée.
F. Ch.