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Wallis continue ?

Envoyé par Chaurien 
Wallis continue ?
il y a quatre années
avatar
Bonsoir.
Je m'intéresse à la fonction $ \displaystyle x\mapsto W(x)=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(\sin t)^{x}dt$ que j'appelle « Wallis continue » faute de mieux. A-t-elle une « appellation contrôlée » ?
On a, sauf erreur : $ \displaystyle W(x)=\frac{\Gamma (\frac{x+1}{2})\sqrt{\pi }}{2\Gamma (\frac{x}{2}+1)}$. Peut-on démontrer cette égalité sans utiliser la fonction Bêta ?
Il me semble qu'on en a parlé sur ce forum. Qui retrouvera les fils de discussion qui lui auraient été consacrés?
Autres références pour cette fonction ?
D'avance merci, et bonne soirée.
F. Ch.
Re: Wallis continue ?
il y a quatre années
J'ai vu passé un sujet de concours à ce sujet, EPITA je crois.
Re: Wallis continue ?
il y a quatre années
voir concours central 2004 tsi
Re: Wallis continue ?
il y a quatre années
avatar
Chaurien:

Par densité?
Il faudrait pouvoir établir que pour $x$ rationnel cette égalité est vraie. (facile à dire)

Je vis parce que les montagnes ne savent pas rire, ni les vers de terre chanter.(Cioran)
Re: Wallis continue ?
il y a quatre années
bonjour

je suggère une piste sans l'avoir réellement explorée :

on considère la fonction paramétrée (avec $0 < t < \frac{\pi}{2}$) :

$f_n(x) = (1 + \frac{x.ln(sint)}{n})^{n}$

lorsque n tend vers +oo elle converge vers $(sint)^x$

on considère maintenant le rapport des limites pour n infini de deux fonctions Gamma
exprimées chacune sous la forme de n produits (définition de Weierstrass)

par identification des résultats des deux membres on prouve l'expression proposée (qui est exacte)
sinon bien-sûr la démonstration par la fonction Béta est la plus simple

cordialement



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a quatre années et a été effectuée par jean lismonde.
P.
Re: Wallis continue ?
il y a quatre années
Fritz John dans les annees 40 a montre que si $f$ envoie $(0,\infty)$ dans lui meme, est telle que $\log f $ est convexe et satisfait
$$f(x)f(x+1)=1/x$$ alors $f(x)=F(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}B(x/2,1/2).$ Je n'ai plus la reference, mais la demonstration est basee sur le fait que la derivee seconde de $\log (f/F)$ est de periode 2 et s'annule a l'infini.
Re: Wallis continue ?
il y a quatre années
avatar
Bonjour,

Une idée :
On a $\displaystyle \int \sin^x t dt = -\cos t \sin^{x+1} t |\sin t|^{-(x+1)} \, _2F_1(\frac12; {1-x \over 2}; \frac32; \cos^2 t)$ qui se simplifie pour $t \geq 0$ en $\displaystyle \int_{t \geq 0} \sin^x t dt = -\cos t \, _2F_1(\frac12; {1-x \over 2}; \frac32; \cos^2 t)$
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