Généralisation de l'intégrale de Gauss

Souki · November 2016

Bonjour,

Existe-t-il un résultat sur la convergence et la valeur de $\int_{\mathbb{R}} e^{-x^{2n}} dx$ pour les entiers $n \ge 2$ ?
On peut voir que l'intégrale existe si on intègre sur les $x$ dont la valeur absolue est > 1 parce que dans ce cas $e^{-x^{2n}} \le e^{-x^2}$. Qu'en est-il si on intègre sur tout R ?

Amicalement

Héhéhé · November 2016

Tu devrais te renseigner sur la fonction gamma

gerard0 · November 2016

Bonjour.

l'intégrale entre -1 et 1 étant définie, aucun problème pour intégrer sur $\mathbb R$.

Cordialement.

reuns · November 2016

avec $x = y^n, dx = n y^{n-1}dy$ : $$\Gamma\left(\frac{1}{n}\right) = \int_0^\infty x^{1/n-1} e^{-x}dx =\int_0^\infty y^{1-n}e^{-y^n}ny^{n-1}dy = n\int_0^\infty e^{-y^n}dy$$ et donc $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^{2n}}dx = \frac{\Gamma\left(\frac{1}{2n}\right)}{n}$$
Maintenant en se fiant à ce que dit wikipedia on n'a pas de formule simple pour $\Gamma(\frac{1}{n})$ dès que $n \ge 3$.

gilles benson · November 2016

et là, on peut suggérer la lecture du grand classique: Die Gammafunktion de Nielsen réédité par Chelsea.

Sinon, mathworld donne tout cela:

Simple closed-form expressions of this type do not appear to exist for Gamma(1/n) for n a positive integer n>2. However, Borwein and Zucker (1992) give a variety of identities relating gamma functions to square roots and elliptic integral singular values k_n, i.e., elliptic moduli k_n such that
(K^'(k_n))/(K(k_n))=sqrt(n),
(62)

where K(k) is a complete elliptic integral of the first kind and K^'(k)=K(k^')=K(sqrt(1-k^2)) is the complementary integral. M. Trott (pers. comm.) has developed an algorithm for automatically generating hundreds of such identities.
Gamma(1/3) = 2^(7/9)3^(-1/12)pi^(1/3)[K(k_3)]^(1/3)
(63)
Gamma(1/4) = 2pi^(1/4)[K(k_1)]^(1/2)
(64)
Gamma(1/6) = 2^(-1/3)3^(1/2)pi^(-1/2)[Gamma(1/3)]^2
(65)
Gamma(1/8)Gamma(3/8) = (sqrt(2)-1)^(1/2)2^(13/4)pi^(1/2)K(k_2)
(66)
(Gamma(1/8))/(Gamma(3/8)) = 2(sqrt(2)+1)^(1/2)pi^(-1/4)[K(k_1)]^(1/2)
(67)
Gamma(1/(12)) = 2^(-1/4)3^(3/8)(sqrt(3)+1)^(1/2)pi^(-1/2)Gamma(1/4)Gamma(1/3)
(68)
Gamma(5/(12)) = 2^(1/4)3^(-1/8)(sqrt(3)-1)^(1/2)pi^(1/2)(Gamma(1/4))/(Gamma(1/3))
(69)
(Gamma(1/(24))Gamma((11)/(24)))/(Gamma(5/(24))Gamma(7/(24))) = sqrt(3)sqrt(2+sqrt(3))
(70)
(Gamma(1/(24))Gamma(5/(24)))/(Gamma(7/(24))Gamma((11)/(24))) = 4·3^(1/4)(sqrt(3)+sqrt(2))pi^(-1/2)K(k_1)
(71)
(Gamma(1/(24))Gamma(7/(24)))/(Gamma(5/(24))Gamma((11)/(24))) = 2^(25/18)3^(1/3)(sqrt(2)+1)pi^(-1/3)[K(k_3)]^(2/3)
(72)
Gamma(1/(24))Gamma(5/(24))Gamma(7/(24))Gamma((11)/(24)) = 384(sqrt(2)+1)(sqrt(3)-sqrt(2))(2-sqrt(3))pi[K(k_6)]^2
(73)
Gamma(1/(10)) = 2^(-7/10)5^(1/4)(sqrt(5)+1)^(1/2)pi^(-1/2)Gamma(1/5)Gamma(2/5)
(74)
Gamma(3/(10)) = 2^(-3/5)(sqrt(5)-1)pi^(1/2)(Gamma(1/5))/(Gamma(2/5))
(75)
(Gamma(1/(15))Gamma(4/(15))Gamma(7/(15)))/(Gamma(2/(15))) = 2·3^(1/2)5^(1/6)sin(2/(15)pi)[Gamma(1/3)]^2
(76)
(Gamma(1/(15))Gamma(2/(15))Gamma(7/(15)))/(Gamma(4/(15))) = 2^2·3^(2/5)sin(1/5pi)sin(4/(15)pi)[Gamma(1/5)]^2
(77)
(Gamma(2/(15))Gamma(4/(15))Gamma(7/(15)))/(Gamma(1/(15))) = (2^(-3/2)3^(-1/5)5^(1/4)(sqrt(5)-1)^(1/2)[Gamma(2/5)]^2)/(sin(4/(15)pi))
(78)
(Gamma(1/(15))Gamma(2/(15))Gamma(4/(15)))/(Gamma(7/(15))) = 60(sqrt(5)-1)sin(7/(15)pi)[K(k_(15))]^2
(79)
(Gamma(1/(20))Gamma(9/(20)))/(Gamma(3/(20))Gamma(7/(20))) = 2^(-1)5^(1/4)(sqrt(5)+1)
(80)
(Gamma(1/(20))Gamma(3/(20)))/(Gamma(7/(20))Gamma(9/(20))) = 2^(4/5)(10-2sqrt(5))^(1/2)pi^(-1)sin(7/(20)pi)sin(9/(20)pi)[Gamma(1/5)]^2
(81)
(Gamma(1/(20))Gamma(7/(20)))/(Gamma(3/(20))Gamma(9/(20))) = 2^(3/5)(10+2sqrt(5))^(1/2)pi^(-1)sin(3/(20)pi)sin(9/(20)pi)[Gamma(2/5)]^2
(82)
Gamma(1/(20))Gamma(3/(20))Gamma(7/(20))Gamma(9/(20)) = 160(sqrt(5)-2)^(1/2)pi[K(k_5)]^2.
(83)

Several of these are also given in Campbell (1966, p. 31).

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