Calcul d'une somme semi convergente

Jacky9393 · November 2016

Bonjour
Comment peut-on montrer que : $$
\sum_{m \in \mathbb{Z}} \sum_{n \in \mathbb{Z}, (n,m) \neq 0} (\frac{1}{m-1+nz} - \frac{1}{(m+nz)})=\frac{2i \pi}{z}
$$ On prend ici $z$ complexe de partie imaginaire $>0$.
C'est annoncé dans un livre sans démonstration mais je ne sais pas le prouver. Cela ressemble à un théorème des résidus mais je ne le vois pas en application

Merci beaucoup !

reuns · November 2016

si $m \ne 0$ :
$$\sum_{n=A}^B \frac{1}{m+(n-1)z}-\frac{1}{m+nz} = \frac{1}{m+(A-1)z}-\frac{1}{m+Bz}$$
et en $n=0,m=1$ tu as un $1/0$ dans ta série.

Et sinon
$$\sum_{(m,n) \in \mathbb{Z}\setminus (0,0),(1,0)}\frac{1}{m+(n-1)z}-\frac{1}{m+nz} = \sum_{n=2}^\infty \frac{1}{(n-1)z}-\frac{1}{nz} +\sum_{n=-\infty}^{-1} \frac{1}{(n-1)z}-\frac{1}{nz} = \frac{2}{z}$$

Jacky9393 · November 2016

Bonjour reuns,

Je ne comprends pas trop pourquoi tu écris ta première identité : on doit plutôt commencer par regarder : $$ \sum_{n=A}^B \left( \frac{1}{(m-1)+nz}- \frac{1}{m+nz} \right) $$ C'est pour ça que je bloque, la somme n'est pas téléscopique. Par exemple si l'ordre de sommation était inversé ce serait très simple àsommer par somme téléscopique.

Jacky9393 · November 2016

Peut être une idée que l'on peut exploiter :

$$\int _{0}^1 t^{m-1+nz}dt = \frac{1}{m+nz}$$ Alors on peut sommer en $n$, mais bon on est pas tiré d'affaire non plus.

Pour ne rien cacher à personne mon problème vient de J.P Serre "Cours d'arithmétique", p.155, chapitre des formes modulaires, paragraphe 4.4

Précision utile : on ne somme que sur les termes qui font un dénominateur non nul dans les fractions ...

reuns · December 2016

Mouai ce n'est pas tout à fait ce qu'a dit Serre

Et donc je dirais que le $2i \pi$ vient du fait que $f(s,a) = \frac{1}{e^{2i\pi s}-1}-\frac{1}{e^{2\pi (s+a)}-1}$ a une décomposition en éléments simples $f(s,a) =\sum_n \frac{a}{(s+n)(s+a+n)}$

donc $$f(m/z,1/z) =\sum_n \frac{1}{(m+nz)(m+1+nz)}$$
ou un truc du genre 57766

Jacky9393 · December 2016

J'ai eu le droit à l'itération précédente du livre de Serre, donc avec des erreurs dans les résultats pour $H_1$ et $H$. Cela ne règle pas la question, parce qu'il affirme toujours que c'est facile alors que je ne trouve pas ça facile pour $H$ ... Ce que tu dis est très intéressant ! Ca doit être le bon moyen de voir le problème : on retrouve bien une somme téléscopique en $m$. Donc pas si trivial que ça !

Jacky9393 · December 2016

Par contre comment tu demontre rigoureusement ta decomposition en éléments simples ? Je ne connais pas de théorème qui dit ça.

reuns · December 2016

Encore le théorème de Liouville qu'une fonction entière et bornée est constante Voir une démonstration pour $\frac{1}{\sin^2(z)}$. Ici c'est plus simple car la constante en soustrayant $g(z)-g(z+a)$ s'annule.

supspé · December 2016

C'est le développement de Mittag-Leffeler.

Jacky9393 · December 2016

Merci reuns pour cette méthode générale, effectivement je n'ai pas pensé à utiliser cela !
Bon je crois que la question est close

gilles benson · December 2016

pour supspé: on écrit Mittag-Leffler du nom de deux mathématiciens évidemment; le principe est expliqué en détail dans Rudin: Real and complex analysis par exemple et l'exemple bien connu est celui du développement de la fonction cotangente. Sinon, des technique similaires apparaissent dans l'étude des séries d'Eisenstein qui servent à générer les formes modulaires (voir Serre: Cours d'arithmétique; et pour ceux que cela intéresse, c'était le sujet de l'épreuve de math1 (scientifique) de l'Essec de cette année, adapté à leur programme bien évidemment et le développpement de cotangente est obtenu en utilisant une astuce célèbre appelée le principe d'Herglotz: voir par exemple Remmert: Classical topics in complex function theory chez Springer ou bien Raisonnements Divins aussi chez Springer.

Chaurien · December 2016

@Gilles Benson
« Mittag-Leffler du nom de deux mathématiciens » : c'est une blague ?

Chaurien · December 2016

@ reuns
Si l'on cite Serre en français pourquoi le copier en anglais ?

reuns · December 2016

@Chaurien : J'ai fourni ce qu'il faut pour rendre la question compréhensible.

Et les gens normaux (qui vivent avec leur temps, donc qui étudient les sciences sur internet souvent en anglais scientifique) s'en fichent que ça soit en français ou en anglais scientifique (qui est la langue qui permet aux scientifiques du monde entier de communiquer, ce qui est un important progrès).

Chaurien · December 2016

@ reuns
Je ne rechigne pas à donner des références en anglais lorsque c'est nécessaire. Mais ici, sur un site francophone, nous avons la référence au texte originel d'un des plus grands mathématiciens du XXème siècle, qui écrit dans la langue de ses pères, et qui ensuite est traduit en langues étrangères, en raison de l'intérêt de son ouvrage. Mais bien sûr la morale de l'esclave privilégie la langue du maître.

Calcul d'une somme semi convergente

Réponses

Bonjour!

Catégories

In this Discussion

Qui est en ligne 10