Question série

Code_Name
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dans Analyse
Bonjour,

Je me demandais si la relation suivante est vraie car dans un simple exercice de calcul de série il me semble que mon prof utilise quelque chose de ce genre, et si c'est le cas pourriez vous m'éclaircir s'il vous plait:

$$\sum_{k=p}^{n} x_{k} \leq (n-p) \ x_{p} \ \ \ \forall \ (x_{k})_{k\in \mathbb{N}}
$$

Merci.

P.S: C'est la première fois que je poste ici et on dirait que pour implémenter du Latex on met le code simplement entre $$ mais je ne sais pas comment me débarrasser de la barre à la fin ^^.

Réponses

  • Bergtatt
    Bergtatt
    Sans hypothèse sur ta suite c'est clairement faux ... Tu peux prendre $x_1 = 1, x_2 = 1$ par exemple, et vérifier avec $p=1,n=2$.
  • pourexemple
    pourexemple
    Bonsoir,

    Cela marche si $x_p=\text{max}\{x_i|i=p..n\}$
    Par exemple dans le cas où la suite $(x_k)$ est décroissante.


    Bonne soirée.
  • pourexemple
    pourexemple
    Et avec (n-p+1) au lieu de (n-p).
  • Code_Name
    Code_Name
    Bergtatt écrivait:
    > Sans hypothèse sur ta suite c'est clairement faux
    > ... Tu peux prendre $x_1 = 1, x_2 = 1$ par
    > exemple, et vérifier avec $p=1,n=2$.


    Si la suite est de la forme $$\frac{1}{k}$$ ça marche?
  • Bergtatt
    Bergtatt
    Tu peux faire comme pourexemple a dit : remplacer $n-p$ par $n-p+1$ et suppose que $x_n$ est une suite décroissante. PS : je pense que la barre n'a rien à voir avec Latex, c'est peut-être dû à ton navigateur.
  • Code_Name
    Code_Name
    pourexemple écrivait:
    > Bonsoir,
    >
    > Cela marche si $x_p=\text{max}\{x_i|i=p..n\}$
    > Par exemple dans le cas où la suite $(x_k)$ est
    > décroissante.
    >
    >
    > Bonne soirée.


    Ah du coup, si j'écris ceci:

    $$ \sum_{k=p}^{n} x_{k} \leq (n-p+1) \ x_{p} \ \ \ \forall \ (x_{k})_{k\in \mathbb{N}} \ decroissant $$
    Alors c'est vrai n'est-ce pas? La démonstration se fait par récurrence je suppose?

    Et merci et bonne soirée à vous aussi.
  • rémi
    rémi
    Chaque terme de la somme est plus petit que le plus grand terme.
    Quitte à réordonner les $x_i$ (quand a-t-on le droit ?) pour que le plus grand terme soit $x_p$...
    Combien de termes a la somme ?
  • Code_Name
    Code_Name
    rémi écrivait:
    > Chaque terme de la somme est plus petit que le
    > plus grand terme.
    > Quitte à réordonner les $x_i$ (quand a-t-on le
    > droit ?) pour que le plus grand terme soit
    > $x_p$...
    > Combien de termes a la somme ?


    Je comprend pas trop où vous voulez en venir, si on fait l'hypothèse que la suite est décroissante alors naturellement, comme vous le dites, le premier terme sera plus grand que les autres il me semble?
  • pourexemple
    pourexemple
    Rémi veux te dire que $$\sum \limits_{k=n}^{p}1=(n-p+1)$$ et non (n-p).

    Bonne soirée.
  • rémi
    rémi
    @Code_name, j'écrivais en même temps que les autres donc je n'avais pas vu que quelqu'un avait parlé de suite décroissante. Mais ce n'est pas la seule solution; que se passe-t-il si les $x_i$ sont positifs ?

    @pourexemple, je dis juste que si on est dans les bonnes conditions (suite décroissante ou $x_i$ positifs ou ...) alors il faut bien multiplier la majoration par la somme des termes (puisqu'on a la même majoration pour chaque terme).
    Par exemple, si les $x_i$ sont tous positifs. Je réordonne la somme de manière à ce que $x_p$ soit le plus grand et on a $\sum_k x_k \leqslant x_p\times (n-p)$, non ?
  • pourexemple
    pourexemple
    @Rémi : si tu un connais un cas général qui n'est pas celui là : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1367904,1367910#msg-1367910
    Alors je suis preneur.
  • Code_Name
    Code_Name
    pourexemple écrivait:
    > Rémi veux te dire que $$\sum
    > \limits_{k=n}^{p}1=(n-p+1)$$ et non (n-p).
    >
    > Bonne soirée.


    Merci mais je vois pas en quoi ça me sert pour la relation.
    M'enfin j'ai très bien compris grâce à l'hypothèse de décroissance et c'est très facile à prouver merci beaucoup!
  • rémi
    rémi
    @pourexemple, je suis un ignare. Mes questions avaient pour but de montrer qu'il suffisait de se poser quelques questions basiques pour tirer des conclusions même si on n'y connaît pas grand chose.
    Mes $x_i$ positifs sont par exemple recouvert par ton max. Je ne vois pas a priori rien de plus général mais je ne suis certainement pas le mieux placé...
  • pourexemple
    pourexemple
    Il n'y a pas de mal, on fait tous des erreurs, et moi le premier.

    Bonne soirée.
  • Code_Name
    Code_Name
    Bonsoir,

    Je n'arrive pas à comprendre l'égalité suivante: $$\sum_{n=0}^{\infty }\sum_{k=0}^{n}2^{-k}3^{k-n}= \sum_{k=0}^{\infty}2^{-k}\sum_{k=0}^{\infty}3^{-k}$$

    J'ai essayé plusieurs arrangements en utilisant ce que je connais mais en vain. L'infini y est probablement pour quelque chose et je ne trouve pas. Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait gentil.
  • leff
    leff
    Salut, je ferais
    $\sum_{n=0}^\infty( \sum_{k=0}^n 2^{-k}3^{k-n}) = \sum_{k=0}^\infty( \sum_{n=k}^{\infty} (2^{-k} 3^{k-n}))= \sum_{k=0}^{\infty}( \sum_{n=0}^{\infty} (2^{-k} 3^{-n}))$ Et on peut alors séparer
  • Poirot
    Poirot
    Bonjour Code_Name, il s'agit simplement du produit de Cauchy des deux séries absolument convergentes $$\sum_k 2^{-k}\qquad\text{et}\qquad \sum_k 3^{-k}.$$
  • Code_Name
    Code_Name
    Merci pour vos réponses. Je n'ai malheureusement pas compris ton calcul leff.

    Poirot: j'ai regardé sur wikipédia le produit de Cauchy, il y a cependant une dernière chose qui m'embete; pour arriver à l'égalité ne devrait on pas avoir un $3^{k+n}$ au lieu de $3^{k-n}$?
  • Poirot
    Poirot
    Non. Si $(u_n)_n$ et $(v_n)_n$ sont deux suites de nombres complexes dont les séries associées sont absolument convergentes (on peut en fait supposer l'une convergente et l'autre absolument convergente) alors la série de terme général $w_n = \displaystyle \sum_{k=0}^n u_k v_{n-k}$ converge absolument, et ce vers le produit des sommes des deux séries.

    Ici on a $u_k = 2^{-k}$ et $v_k=3^{-k}$ d'où $v_{n-k} = 3^{k-n}$.
  • jean lismonde
    jean lismonde
    bonjour

    tu calcules d'abord l'expression du second membre qui est la plus simple,
    il s'agit du produit de deux séries géométriques convergentes respectivement vers 2 et 3/2
    soit un produit égal à 3

    l'expression du premier membre fait également intervenir un produit
    dont le second facteur est une somme arrêtée au rang n de termes en progression géométrique de raison 3/2 soit : $2[\frac{3^n}{2^n} - 1]$
    l'expression du premier membre s'écrit donc comme la différence de deux séries géométriques :
    $$\sum_0^{+\infty}\frac{3}{2^n} - \sum_0^{+\infty}\frac{2}{3^n}$$
    soit le résultat : 6 - 3 = 3

    Les deux expressions donnent le même résultat numérique
    Cordialement.

    [Jean, $\LaTeX$ fournit la commande \sum pour écrire les signes somme discrète. AD]
  • Code_Name
    Code_Name
    Merci pour vos explications. J'ai compris Poirot.

    Bonne soirée.
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