Plan d'attaque :
- Calculer (ou mieux, faire calculer) la somme pour les premiers $p$.
- Vérifier si ça correspond à une suite connue dans OEIS.
- Si oui, démontrer que c'est bien ça.
Les termes $1; 29; 562; 9949$; est une sous-suite d'une suite connue dans OEIS, mais je ne sais pas laquelle, c'est la première fois que j'utilise cette plateforme.
Il suffit de taper le terme $2842226$ ($p=6$).
A titre d’information : Si j'arrive à calculer cette somme en fonction de $p$, j'aurai une forte chance pour déterminer la valeur exacte de $\gamma$ (la constante d'Euler).
Il vaut mieux, dans la requête, entrer la suite de nombres avec des espaces plutôt qu'avec des virgules. On a alors deux suites qui apparaissent (dont l'une est d'ailleurs une sous-suite de l'autre, sauf erreur).
Quant à la détermination de "la valeur exacte de $\gamma$" ....
j'aurai une forte chance pour déterminer la valeur exacte de gamma
Parce que tu crois que $\gamma$ est un nombre rationnel? :-D
Des travaux, à l'image de ce qui a été fait pour la constante d'Apéry $\zeta(3)$, existent (bien que cela n'a pas encore débouché sur une preuve de l'irrationalité de cette constante).
Par exemple,
Criteria of irrationality of Euler's constant, Jonathan Sondow,
OK, autant pour moi. Mais je trouve qu'il vaut mieux laisser $\pmatrix{4p-1\\2p-1}$ plutôt que $\dfrac12\,\pmatrix{4p\\2p}$, c'est plus en phase avec la démonstration de la formule. Tu n'as sans doute pas fait cette démonstration, car sinon tu aurais sans difficulté une expression compacte pour ta dernière somme.
Ok. Voila, je viens de faire les calculs (même procédure au-dessus) $$
\sum_{k=0}^{p-1} \binom{\large 4p+2 }{\large 2k+1} = 2^{4p} - \binom{\large 4p+1 }{\ \ \large 2p} $$ Merci.
[LaTeX fournit les commandes \binom{a}{b} : $\binom{a}{b}$ et \dbinom{a}{b} : $\dbinom{a}{b}$. ;-) AD]
Voici l'erreur :
Cette relation n'est pas toujours vraie : $$
\sum_{k=1}^{n-1} cos^{2p}\left( \frac {k\pi}{2n} \right) = \frac{ \binom{\large 2p }{\large p}} {2^{2p}}n - \frac 1 2.
$$ Mais elle reste toujours vraie pour $\large p \leq n$.
Réponses
- Calculer (ou mieux, faire calculer) la somme pour les premiers $p$.
- Vérifier si ça correspond à une suite connue dans OEIS.
- Si oui, démontrer que c'est bien ça.
Sauf erreur on obtient,
$S(1)=1,S(2)=29,S(3)=562,S(4)=9949$
$1,29,562,9949$ est inconnue de l'OEIS. :-D
Il suffit de taper le terme $2842226$ ($p=6$).
A titre d’information : Si j'arrive à calculer cette somme en fonction de $p$, j'aurai une forte chance pour déterminer la valeur exacte de $\gamma$ (la constante d'Euler).
Merci pour votre aide.
Quant à la détermination de "la valeur exacte de $\gamma$" ....
Parce que tu crois que $\gamma$ est un nombre rationnel? :-D
Des travaux, à l'image de ce qui a été fait pour la constante d'Apéry $\zeta(3)$, existent (bien que cela n'a pas encore débouché sur une preuve de l'irrationalité de cette constante).
Par exemple,
Criteria of irrationality of Euler's constant, Jonathan Sondow,
http://www.ams.org/journals/proc/2003-131-11/S0002-9939-03-07081-3/S0002-9939-03-07081-3.pdf
Sinon, grâce à OEIS (et à SageMath) :
P.S. Cette démonstration est assez immédiate en utilisant $\pmatrix{4p\\2k}=\pmatrix{4p-1\\ 2k-1}+\pmatrix{4p-1\\ 2k}$.
http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1369366,1369426#msg-1369426
Tu penses qu'on peut exprimer $\gamma$ comme une combinaison linéaire à coefficients rationnels des nombres $\pi,\sqrt{2},\ln(2)$ ?
Si c'était le cas, cela se saurait B-)-
Ce que je voulais écrire précédemment est que des suites de rationnels qui approchent $\gamma$ on en connait déjà.
Je l'ai vérifié par PARI GP.
C'est la formule de @Guego que j'ai pris.
Pourriez-vous m'aider à calculer
$$ \sum_{k=0}^{p-1} ( ^{\large 4p+2 }_{\large 2k+1}) $$
Merci.
$$\begin{align}\sum_{k=0}^{p-1} \pmatrix{4p\\2k}&=\sum_{\ell=0}^{2p-2}\pmatrix{4p-1\\\ell}=\left(\sum_{\ell=0}^{2p-1}\pmatrix{4p-1\\\ell}\right) -\pmatrix{4p-1\\2p-1}\\&=\dfrac12\left(\sum_{\ell=0}^{4p-1}\pmatrix{4p-1\\\ell}\right) -\pmatrix{4p-1\\2p-1}=2^{4p-2}-\pmatrix{4p-1\\2p-1}\;.\end{align}$$
Tu n'as qu'à adapter ce calcul pour ta dernière somme.
Ok. Voila, je viens de faire les calculs (même procédure au-dessus) $$
\sum_{k=0}^{p-1} \binom{\large 4p+2 }{\large 2k+1} = 2^{4p} - \binom{\large 4p+1 }{\ \ \large 2p} $$ Merci.
[LaTeX fournit les commandes \binom{a}{b} : $\binom{a}{b}$ et \dbinom{a}{b} : $\dbinom{a}{b}$. ;-) AD]
Les résultats correspond parfaitement à mes attentes.
D'ici 4 heures au maximum, je vous dirai des résultats à propos de la valeur exacte de $\Large \gamma$.
Je viens de terminer les calculs (9 pages )
J'ai abouti à une "formule exacte", mais malheureusement ce n'est pas $\gamma$. (sa valeur est $0,9614072421$)
J'ai vérifié deux fois.
Je ne sais plus est-ce que c'est une simple faute de calcul ou une grave erreur de raisonnement.
Merci.
Je n'ai pas dit mon dernier mot.
Je viens de voir mon erreur.
salut.
Désolé pour la fausse alerte.
Cette relation n'est pas toujours vraie : $$
\sum_{k=1}^{n-1} cos^{2p}\left( \frac {k\pi}{2n} \right) = \frac{ \binom{\large 2p }{\large p}} {2^{2p}}n - \frac 1 2.
$$ Mais elle reste toujours vraie pour $\large p \leq n$.
Il faut voir le cas où $\large p > n$.