Théorème de Rolle et accroissements finis
Bonsoir , j'ai une question on a déjà etudié que pour trouver le theoreme d'accroissement finis on a appliqué le theoreme de Rolle sur une fonction precise. Mais je me demande si on ne peut pas considerer que le theoreme de Rolle est un cas particulier du theoreme de l'accroissement finis auquel on ajoute la condition que f(a)=f(b) si on parle dans un interval [a;b] ainsi on aura f(a)-f(a)=f'(c)(b-a) donc f'(c)=0 où c appartient à [a;b] ce qui nous ramene au theoreme de Rolle
Merci d'avance
(Je suis en maths sup).
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Réponses
Effectivement, le théorème de Rolle est clairement un cas particulier du théorème des accroissements finis, puisqu'en supposant que $f(a)=f(b)$, alors le théorème des accroissements finis nous dit immédiatement qu'il existe $c$ dans $\left]a;b\right[$ tel que $f'(c)=0$. Ce qui est moins évident (mais pas très difficile non plus), c'est comment passer de cas particulier (le théorème de Rolle) au résultat plus général (le théorème des accroissements finis).
D'ailleurs, comme le théorème de Rolle permet de démontrer le théorème des accroissements finis, il est souvent appelé "lemme de Rolle".
(1) et (2) sont équivalents, avec :
(1) pour toute $f\in E$ si $f(a)=f(b)$ alors il existe $c\in J$ tel que $f'(c) = 0$
(2) pour toute $f\in E$, il existe $c\in J$ tel que $f'(c) \times (b-a) = f(b) - f(a)$
Par contre, le théorème suivant, est plutôt post-bac:
Pour parler de $f'$ ne faut-il pas supposer cette propriété de $\mathbb R$ ?
Mais je n'ai peut-être pas compris la teneur de cette remarque.
De mon téléphone
« si $f$ est dérivable de [a,b] dans $\mathbb R$ avec la propriété $truc$, alors toute partie majorée de $\mathbb R$ ... ».
Mais alors, quel est ce $\mathbb R$ contenu dans le " Si " ?
C'est troublant.
Bon je te corrige l'exode ça te fera un petit cadeau quand tu te leveras . De mon téléphone.
Soit une partition des réels en vert rouge telle que tout point vert est plus petit que tout point rouge a est vert et b est rouge.
Soit pour chaque x , f(x) := if x vert then x-a else b-x. Tu n'as plus qu'à appliquer (1) à f pour avoir la borne sup des réels verts.
;-)
Ou est-ce "le fond" de l'affaire?
Je retire tout de suite cette critique sur le fond car je suis le premier à défendre n'importe quel exercice si le seul prétexte de son détracteur est "ça sert à rien".
La forme d'autre part, il faudrait rédiger autrement, comme "remplacer $\mathbb R$ par corps ordonné contenant $\mathbb Q$" par exemple, sauf si j'ai loupé une subtilité.
Edit : l'intervalle de départ suggère $\mathbb R$ également à moins de le définir sur un espace...ordonnée lui aussi.
La forme que tu avais donnée en première instance me gênait à cause de $\mathbb R$.
Je trouve toujours cela bancal.
Bah oui, $\mathbb R$, c'est $\mathbb R$ ;-).
Disons que jusqu'à ce que soit énoncé de manière erronée comme un nouvel axiome la complétude de $\R$ en Terminale, les lycéens n'ont de la notion première $\R$ comme hypothèse dessus qu'il est un corps ordonné dans lequel tout élément positif a une racine carrée. (Déjà, ça vire $\Q$ un peu brutalement).
En classe de première, on admet que si $f ' $ est définie et positive sur un intervalle $J$ alors $f$ est croissante sur $J$. Or cet énoncé entraine la complétude de $\R$ (de la même manière que le précédent, objet de discussion). Et de la même manière que la formule qui donne le terme $u_n$ de $u$ quand $u$ est arithmétique entraine l'axiome de récurrence.
Alors, je ne sais pas si c'est "beau ou pas", mais en tout cas, il me semble que c'est suffisamment peu rappelé pour l'être de temps en temps (d'autant que je suis persuadé qu'un certain nombre de livres et de profs ne le savent carrément pas). Bon, pour vraiment que ça ne "t'échappe pas", le théorème (quasi-évident) est le suivant:
soit $K$ un corps ordonné. Supposons que $K$ vérifie la propriété du théorème de Rolle. Alors $K$ est isomorphe à $\R$ (ie toute partie majorée de $K$ a une borne supérieure).
A noter aussi que cette propriété entraine l'axiome du récurrence et le fait que $\R$ est archimédien. Bref, je ne dis pas qu'il faut en donner toutes les preuves dès la première (première classe où est admis au moins un item qui entraine tous les autres), mais sur un forum, on peut quand-même signaler ces équivalences d'autant que j'ai vu de mes yeux et entendu de mes oreilles plusieurs fois des enseignants affirmer le contraire.... à leurs élèves ou à des assemblées pleinières (et il mettaient du temps à comprendre leur erreur quand on la leur faisait remarquer).
En le relisant, je me dis que je l'ai mal écrit (ce message).
Tes précisions clarifient sans équivoque les problèmes que je voulais soulever.
Je voulais pointer du doigt des choses que j'ai déjà vues. Par exemple, un prof arrive en TD et écrit au tableau "démontrer que $\mathbb R$ est complet" ou tout autre propriété. Tout cela, sans dire ce qu'est $\mathbb R$, sans dire de quoi on part. Pire, le prof d'amphi a pu définir $\mathbb R$ par la complétude et d'autres axiomes...les deux collègues ne se sont pas parlés...
Là, dans ton premier énoncé, en ne parlant que du sens direct, je trouvais qu'il manquait cette précision.
[small]Blague ou boutade du soir : Je note que tu fais dans l'émotion en parlant de "quasi-évidence", c'est ton droit.
Après avoir dit que plein de gens ne le savaient pas, tu avoueras qu'il s'agit d'une provocation, voire d'un péché d'orgueil ;-)[/small]
Je répète sur un autre exemple cette erreur assez typique sociologiquement. Le prof X (enseignant en Terminale et croyant "connaitre de la logique culturellement") annonce d'un air plein d'emphase que l'axiome de récurrence est un axiome et que leurs acquis des classes précédentes ne permet pas*** de le prouver (C'est arrivé de dizaines de milliers de fois et ça arrivera encore des dizaines de milliers de fois) alors que c'est bien... une quasi-évidence.
[small]*** alors que si $A$ est une partie de $\N$ telle que $0\in A$ et $\forall x\in \N: (x\in A\to x+1\in A)$, la suite $u:= n\mapsto $ if $n\in A$ then $n$ else $n+1$ est arithmétique de raison 1 et qu'un truc officiel et admis au programme de 1ère (S, mais aussi, ES et STMG :-D :-D ) dit que $\forall n\in \N: u_n=n$, donc que $A=\N$.[/small]
En effet, je me souviens de ce fil où @ev je crois avait participé et raconté une anecdote à ce propos (récurrence...).
À plus tard.
En 2 lignes :
Il suffit de savoir la fonction à poser, en effet c'est un classique.
Bonne journée.
[small](Et ça fait peur cette profusion de vidéo plus pathétiquement compliquées les unes que les autres: à se demander ce que leurs auteurs cherchent à obtenir :-S )[/small]
Bonne soirée.
Cependant, le gars parle bien du sujet initial : Rolle => TAF et TAF => Rolle. Peut-être que @CE repont à ce propos...sans s'intéresser à nos débats...? [/small]