limite de racine de.. et $e^x$
Bonjour
J'essaie de calculer cette limite: $$\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+2}}$$ La réponse est 1. J'ai essayé de factoriser par x mais ensuite j'ai une forme de quelque chose qui tend vers 0 sur quelque chose qui tend vers 0... Je ne vois pas comment faire autrement. Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait sympa !
J'essaie de calculer cette limite: $$\lim_{x\rightarrow +\infty } \frac{\sqrt{x+\sqrt{x+\sqrt{x}}}}{\sqrt{x+2}}$$ La réponse est 1. J'ai essayé de factoriser par x mais ensuite j'ai une forme de quelque chose qui tend vers 0 sur quelque chose qui tend vers 0... Je ne vois pas comment faire autrement. Si quelqu'un pouvait m'aider ce serait sympa !
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Réponses
On trouve $$\frac{\sqrt{1 + \frac{\sqrt{x+\sqrt x}}{x}}}{\sqrt{1+ \frac{2}{\sqrt x}}}
$$ ou encore après simplification $$\frac{\sqrt{1+ \sqrt{\frac{1}{x} + \frac{1}{x^{3/2}}}}}{\sqrt{1+ \frac{2}{x}}}$$ qui tend bien vers $1$ quand $x$ tend vers $+\infty$.
EDIT : je corrige ma première erreur.
On peut aussi étudier le carré de la quantité pour chasser un radical.
Edit : ça dégaine vite ce soir !
Il faut factoriser par le terme qui croît le plus vite.
$ x+ \sqrt x=x\big(1+\frac 1{\sqrt x}\big)$ le terme dans la parenthèse tend vers 1 quand $x\to \infty$
$x+\sqrt{x+ \sqrt x}=x\big(1+\frac 1{\sqrt x}\big(1+\frac 1{\sqrt x}\big)^{1/2}\big)$ le terme dans la parenthèse tend vers 1 quand $x\to \infty$
etc.
Tu fais pareil au dénominateur et ça passe tout seul.
Alain
Ça dépend à quel niveau la question est posée.
Quand on connaît, on dit simplement que c'est équivalent à $\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}}$.
Cordialement,
Rescassol
Une autre petite question, pour une limite différente. On a $$\lim_{x\rightarrow +\infty } x^{6}e^{-x^{2}}=0$$ Alors oui on m'a dit que l'exponentiel croît plus vite qu'un polynôme, mais formellement il faudrait utiliser le théorème de l'Hospital plein de fois pour y parvenir ou il y a une autre méthode qui m'échappe? Merci pour votre aide!
Pour calculer la limite $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{3}}{3^{x}}$ j'utilise tout simplement le théorème des deux gendarmes ainsi: $$0\leq \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{3}}{3^{x}}< \lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{3}}{e^{x}}=0$$ Et on déduit donc que $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{3}}{3^{x}}=0$ Ma question est la suivante, qu'en est-il pour par exemple $\lim_{x\rightarrow +\infty }\frac{x^{3}}{2^{x}}$ où on ne peut pas utiliser le théorème des deux gendarmes?
Pourquoi toutes ces questions ? Autrement dit, quel est ton but ?
Sinon, pour ta question précédente, on écrira plutôt : "Par croissances comparées, on a $\lim_{x\to+\infty}x^6 \mathrm{e}^{-x}=0$."
Cette expression un peu floue consacrée par l'usage désigne en fait un théorème du cours de terminale-L1, donc pas la peine de pseudo-justifier. L'invoquer suffit.
Magnethorax, merci pour ta réponse, tu veux juste dire que $2^{x}$ c'est le produit jusqu'à x de 2 c'est ça?
tu ne réponds pas aux questions, donc on va continuer à te répondre dans le flou ! Tant pis pour toi. mais ce n'est pas très sympa !!
Avec un cours sur les négligeables, tes limites sont presque évidentes. Comme tu ne sembles pas connaître la définition de $2^x$, on va considérer que tu es en terminale.
Cours : Si a>0, alors par définition, $a^x=e^{x\ln(a)}$
$\displaystyle \frac {x^3}{2^x}=\frac{x^3}{e^{x\ln(2)}}=\frac{\frac{(x\ln(2))^3}{(\ln(2)^3}}{e^{x\ln(2)}}=\frac 1 {(\ln(2)^3} \frac{t^3}{e^t}$
Avec $t = x\ln(2)$ qui tend vers l'infini en même temps que x. La limite s'en déduit immédiatement.
On peut d'ailleurs remplacer 2 par 3, ou 254, ou n'importe quel réel strictement supérieur à 1.
Cordialement
En fait, je suis en première année de polytechnique à Lausanne mais je me suis dit que c'était un détail. Ce sont juste quelques exercices de limites pas bien difficile de niveau Terminale en effet mais bon je suis désolé j'aurais dû me rappeler et rechercher quelques propriétés sur les exponentielles.
J'essaie de calculer cette limite mais je n'arrive pas à conclure. Avec $a>0$ Il faut calculer $$\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x^x-a^x}{(x-a)^x}$$
La réponse est $e^a$
J'ai essayé de faire plusieurs choses, comme mettre l'équation sous une forme pour essayer d'approcher la définition du nombre d'Euler $$\frac{x^x-a^x}{(x-a)^x}=\frac{1-(\frac{a}{x})^x}{(1-\frac{a}{x})^x}$$ et dire que $\lim_{x\rightarrow \infty }\left(\frac{a}{x}\right)^x=0$ en utilisant la définition de la limite d'une suite que je détaille au cas où en bas, mais bon je suis perdu pour conclure même si on dit que $\lim_{x\rightarrow \infty }\left(\frac{a}{x}\right)^x=0$ ...
Concernant la limite $\lim_{x\rightarrow \infty }\left(\frac{a}{x}\right)^x=0$ Je pose $x_{n}=\left(\frac{a}{n}\right)^n$ et je dis que $\forall\ \varepsilon >0\ \exists\ N\in \mathbb{N}$ tel que $\forall\ n\geq N$ on a $|x_{n}|<\varepsilon $ ou en d'autres termes $\left(\frac{a}{n}\right)^n<\varepsilon$. Si je pose par exemple $\varepsilon = \left(\frac{a}{N}\right)^N$ et que je me résous à isoler $N$ (je ne sais pas si c'est possible par contre) c'est bon. Probablement de meilleurs valeurs de $N$ mais ce n'est pas vraiment le coeur du problème, c'est surtout par rapport au calcul de limite initiale.
Merci pour votre aide.
Le calcul se fait de tête une fois que tu divises numérateur et dénominateur par $x^x$. Si tu écris $y^x=exp ( x \ln y )$ tu trouves immédiatement $1-0$ en haut et $e^{-a}$ en bas.