Pensez à lire la Charte avant de poster !

$\newcommand{\K}{\mathbf K}$


Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques supérieures
 Les-Mathematiques.net - Cours de mathématiques universitaires - Forum - Cours à télécharger

A lire
Deug/Prépa
Licence
Agrégation
A télécharger
Télécharger
173 personne(s) sur le site en ce moment
E. Cartan
A lire
Articles
Math/Infos
Récréation
A télécharger
Télécharger
Théorème de Cantor-Bernstein
Théo. Sylow
Théo. Ascoli
Théo. Baire
Loi forte grd nbre
Nains magiques
 
 
 
 
 

En avoir plein les sinus.

Envoyé par pourexemple 
En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
Bonjour,

Soit $f$ une fonction de $\R$ dans lui même et $P\in\R[x]$, $P(x)=a_0+...+a_nx^n$, on note $P(f)$ la fonction de $\R$ dans lui même tel que : $P(f)(x)=a_0+a_1x+...+a_nf^{n-1}(x)$ avec $f^2(x)=f(f(x))$.

Existe-il $P\in R[x]$ tel que $P(f)=\cos$ avec $f(x)= x\sin(x)$ ?

intérêt : derrière ce résultat, il y a un joli résultat général.

Bonne journée.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
Si je ne dis pas de bêtises c'est impossible :

Regardes les premières composées :

$x\sin(x)$
$x\sin(x)\sin(x\sin(x))$
$x\sin(x) \sin(x\sin(x))\sin(x\sin(x)\sin(x\sin(x)))$ etc...

Il y a toujours un $x\sin(x)$ qui traîne en facteur. Supposons qu'un tel $P$ existe, on a alors
$$\frac{\cos(x)-a_0}{x\sin(x)}=g$$

Où $g$ est une fonction continue sur $\mathbf R$. Donc $\cos(x)-a_0$ s'annule forcément aux points de la forme $k\pi$, où $k\in \mathbf Z^*$. Ce qui est absurde.

Mais je veux bien entendre le résultat général qu'il y a ou aurait eu derrière.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par mojojojo.
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
Bonjour,

$P(f)(x)$ est une fonction de $x$ qui admet un développement limité en $x = 0.$ Si le polynôme est de degré $n$, alors $P(f)(x)$ contient $n+1$ constantes $a_k$ pour $k=0, ..., n.$ Il suffit alors de considérer le développement limité en $x=0$ de $P(f)(x) =\cos(x)$ à l'ordre $N$ très grand devant $n+1$ : on a alors un système surdéterminé qui n'a pas de solution.

Par exemple : si $n=0$, alors $P(f)(x) = a_0 = \cos x = 1 - \frac12 x^2 + o(x^2).$ On peut fixer $a_0 = 1$, mais le second terme empêche l'égalité.
Si $n=1$, alors $P(f)(x) = a_0 + a_1 x \sin x = a_0 + a_1 x^2 - \frac16 a_1 x^4 + o(x^4) = 1-\frac12 x^2 + \frac{1}{24}x^4 +o(x^4).$ On peut fixer, $a_0=1$, puis $a_1 = -\frac12$, mais $- \frac16 a_1 \neq + \frac{1}{24}.$

Donc la réponse est négative : il n'existe pas un tel polymôme.
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
@Mojojojo : bravo.

@Yves : ton argument est incomplet.

Manière de faire durée le suspense :

Qu'en est-il si on remplace la fonction : $\cos$ par $h(x)=(x\sin(x))^2$ ?



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
@Mojojo : il te manque à expliquer pourquoi, $a_1=0$, mais bon cela marche car si $a_1\neq 0$ pour $k\pi$ grand, on obtient des discontinuités.
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
@Yves, en effet qui te dit qu'à partir d'un certain rang, on ne colle pas exactement avec ce qu'il faut.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
@pourexemple : je ne comprend pas ta remarque, peu importe la valeur de $a_1$ dans mon argument. La fonction $g$ est continue et $x\sin(x)$ s'annule sur les multiples entier non nuls de $\pi$, pour que la fonction à gauche du signe égale soit continue il faut nécessairement que $\cos(x)-a_0$ s'annule en ces points, ce qui n'est possible pour aucun $a_0$.

Pour ton $h(x)$ on fait pareil, on trouve alors que $a_0=0$ et on en déduit $g=x\sin(x)$, ce qui est absurde.

C'était quoi le résultat général dont tu parlais dans ton premier message ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par mojojojo.
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
Je mets l'énoncé complet :

énoncé 137 :
Existe $P\in\R[x]$ tel que $\forall x \in [0,8], P(f)(x)=(f(x))^2$ avec $f(x)=x\sin(x)$

Bonne soirée.
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
@Mojojojo : $a_1$ est le coefficient de $x$, donc ce n'est pas un multiple de $x\sin(x)$.

PS : je t'ai envoyé un MP.
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
Citation
pourexemple
$\forall x \in [0;8]$

C'est quoi cette condition sortie de nulle part ? eye rolling smiley

Le théorème de prolongement analytique permet de s'en affranchir.

EDIT : ok je viens de relire ton message de début. C'est une drôle d'idée de prendre $a_0+a_1 x + a_2 f(x) +\ldots$, mais bon du coup j'avais mal lu, je pensais qu'on regardais les expressions du type $a_0+ a_1 f +a_2 f^2+\ldots$. Au temps pour moi.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par mojojojo.
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
@Mojojojo : pourquoi pas ?
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
Citation Mojojojo :
Le théorème de prolongement analytique permet de s'en affranchir.

Oui, tu as raison...
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
Idée que j'ai eue en marchant :
$\cos$ et $(x\sin(x))^2$ sont des fonctions paires, mais les $f^n$ et $x$ sont des fonctions impaires, donc la réponse est non au deux questions.

Les idées les plus simples viennent en dernier.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par mojojojo.
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
$f(-x)=(-x)\times \sin(-x)=x\sin(x)=f(x)$
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
zut grinning smiley

Bon mais au moins la parité des fonctions démontre que a_1=0

Correction : les idées un peu trop simples viennent en dernier !
Pea
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
Il existe une suite $(x_n)_n$ tendant vers l'infini telle que $(x_nsin(x_n))^2=x_n^2$ tandis que pour tout polynôme $P$ il existe une constante $C$ telle que $\lvert P(f)(x)\rvert\leqslant C\lvert x\rvert$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
Bonsoir,

@Pea : Bravo.

énoncé 138 :
Existe $P\in\R[x]$ tel que $\forall x \in \R, P(f)(x)=x\sin(x^3)$ avec $f(x)=x\sin(x)$ ?

Bonne soirée.
Pea
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
La fonction $h:x\mapsto x sin(x^3)$ étant paire, si $P(f)=h$ avec $P=a_0+a_1X+\ldots$ on doit avoir $a_1=0$. Ensuite pour tout $n\neq 1$ la fonction $f^{(n)}$ est constante sur $\{k\pi;k\in \mathbb{Z}\}$ ce qui n'est pas le cas de $h$, donc il n'existe pas de tel polynôme $P$.
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
@Pea : Bravo.

Alors voilà le fameux résultat :

On peut voir cela comme une généralisation du déterminant.

Résultat :
Soit $f,g$ deux fonctions dérivables en $0$ et de même point fixe $0$.
Alors $(fog)'(0)=f'(0)\times g'(0)$

Ce résultat, est certes très simple, mais je pense qu'il peut simplifier des situations très complexes sinon.

Et vous qu'en pensez-vous ?

Bonne soirée.
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
Sauf erreur tu as juste besoin que $0$ soit point fixe de $g$.
Re: En avoir plein les sinus.
il y a trois années
avatar
Bonjour,

Oui, tu as raison, mais la version que j'ai donnée est facilement généralisable.

On voit facilement par exemple qu'alors $(f^n)'(0)=(f'(0))^n$

Bonne journée.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.
Seuls les utilisateurs enregistrés peuvent poster des messages dans ce forum.

Cliquer ici pour vous connecter

Liste des forums - Statistiques du forum

Total
Discussions: 138 448, Messages: 1 344 400, Utilisateurs: 24 840.
Notre dernier utilisateur inscrit Louis L..


Ce forum
Discussions: 30 829, Messages: 284 974.

 

 
©Emmanuel Vieillard Baron 01-01-2001
Adresse Mail:

Inscription
Désinscription

Actuellement 16057 abonnés
Qu'est-ce que c'est ?
Taper le mot à rechercher

Mode d'emploi
En vrac

Faites connaître Les-Mathematiques.net à un ami
Curiosités
Participer
Latex et autres....
Collaborateurs
Forum

Nous contacter

Le vote Linux

WWW IMS
Cut the knot
Mac Tutor History...
Number, constant,...
Plouffe's inverter
The Prime page