En avoir plein les sinus.
dans Analyse
Bonjour,
Soit $f$ une fonction de $\R$ dans lui même et $P\in\R[x]$, $P(x)=a_0+...+a_nx^n$, on note $P(f)$ la fonction de $\R$ dans lui même tel que : $P(f)(x)=a_0+a_1x+...+a_nf^{n-1}(x)$ avec $f^2(x)=f(f(x))$.
Existe-il $P\in R[x]$ tel que $P(f)=\cos$ avec $f(x)= x\sin(x)$ ?
[size=x-small]intérêt : derrière ce résultat, il y a un joli résultat général.[/size]
Bonne journée.
Soit $f$ une fonction de $\R$ dans lui même et $P\in\R[x]$, $P(x)=a_0+...+a_nx^n$, on note $P(f)$ la fonction de $\R$ dans lui même tel que : $P(f)(x)=a_0+a_1x+...+a_nf^{n-1}(x)$ avec $f^2(x)=f(f(x))$.
Existe-il $P\in R[x]$ tel que $P(f)=\cos$ avec $f(x)= x\sin(x)$ ?
[size=x-small]intérêt : derrière ce résultat, il y a un joli résultat général.[/size]
Bonne journée.
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Réponses
Regardes les premières composées :
$x\sin(x)$
$x\sin(x)\sin(x\sin(x))$
$x\sin(x) \sin(x\sin(x))\sin(x\sin(x)\sin(x\sin(x)))$ etc...
Il y a toujours un $x\sin(x)$ qui traîne en facteur. Supposons qu'un tel $P$ existe, on a alors
$$\frac{\cos(x)-a_0}{x\sin(x)}=g$$
Où $g$ est une fonction continue sur $\mathbf R$. Donc $\cos(x)-a_0$ s'annule forcément aux points de la forme $k\pi$, où $k\in \mathbf Z^*$. Ce qui est absurde.
Mais je veux bien entendre le résultat général qu'il y a ou aurait eu derrière.
$P(f)(x)$ est une fonction de $x$ qui admet un développement limité en $x = 0.$ Si le polynôme est de degré $n$, alors $P(f)(x)$ contient $n+1$ constantes $a_k$ pour $k=0, ..., n.$ Il suffit alors de considérer le développement limité en $x=0$ de $P(f)(x) =\cos(x)$ à l'ordre $N$ très grand devant $n+1$ : on a alors un système surdéterminé qui n'a pas de solution.
Par exemple : si $n=0$, alors $P(f)(x) = a_0 = \cos x = 1 - \frac12 x^2 + o(x^2).$ On peut fixer $a_0 = 1$, mais le second terme empêche l'égalité.
Si $n=1$, alors $P(f)(x) = a_0 + a_1 x \sin x = a_0 + a_1 x^2 - \frac16 a_1 x^4 + o(x^4) = 1-\frac12 x^2 + \frac{1}{24}x^4 +o(x^4).$ On peut fixer, $a_0=1$, puis $a_1 = -\frac12$, mais $- \frac16 a_1 \neq + \frac{1}{24}.$
Donc la réponse est négative : il n'existe pas un tel polymôme.
@Yves : ton argument est incomplet.
Manière de faire durée le suspense :
Qu'en est-il si on remplace la fonction : $\cos$ par $h(x)=(x\sin(x))^2$ ?
Pour ton $h(x)$ on fait pareil, on trouve alors que $a_0=0$ et on en déduit $g=x\sin(x)$, ce qui est absurde.
C'était quoi le résultat général dont tu parlais dans ton premier message ?
énoncé 137 :
Existe $P\in\R[x]$ tel que $\forall x \in [0,8], P(f)(x)=(f(x))^2$ avec $f(x)=x\sin(x)$
Bonne soirée.
PS : je t'ai envoyé un MP.
C'est quoi cette condition sortie de nulle part ? 8-)
Le théorème de prolongement analytique permet de s'en affranchir.
EDIT : ok je viens de relire ton message de début. C'est une drôle d'idée de prendre $a_0+a_1 x + a_2 f(x) +\ldots$, mais bon du coup j'avais mal lu, je pensais qu'on regardais les expressions du type $a_0+ a_1 f +a_2 f^2+\ldots$. Au temps pour moi.
Le théorème de prolongement analytique permet de s'en affranchir.
Oui, tu as raison...
$\cos$ et $(x\sin(x))^2$ sont des fonctions paires, mais les $f^n$ et $x$ sont des fonctions impaires, donc la réponse est non au deux questions.
Les idées les plus simples viennent en dernier.
Bon mais au moins la parité des fonctions démontre que a_1=0
Correction : les idées un peu trop simples viennent en dernier !
@Pea : Bravo.
énoncé 138 :
Existe $P\in\R[x]$ tel que $\forall x \in \R, P(f)(x)=x\sin(x^3)$ avec $f(x)=x\sin(x)$ ?
Bonne soirée.
Alors voilà le fameux résultat :
On peut voir cela comme une généralisation du déterminant.
Résultat :
Soit $f,g$ deux fonctions dérivables en $0$ et de même point fixe $0$.
Alors $(fog)'(0)=f'(0)\times g'(0)$
Ce résultat, est certes très simple, mais je pense qu'il peut simplifier des situations très complexes sinon.
Et vous qu'en pensez-vous ?
Bonne soirée.
Oui, tu as raison, mais la version que j'ai donnée est facilement généralisable.
On voit facilement par exemple qu'alors $(f^n)'(0)=(f'(0))^n$
Bonne journée.