Inéquation dans IN
Bonsoir,
Déterminer la valeur de l'entier naturel $n>1467$ tel que :
$\{{e^{\pi\sqrt{163}}}^3\}-\{e^{\pi\sqrt{n}}\}<10^{-8}$ ou $\{x\}$ désigne la partie décimale du réel $x$
Déterminer la valeur de l'entier naturel $n>1467$ tel que :
$\{{e^{\pi\sqrt{163}}}^3\}-\{e^{\pi\sqrt{n}}\}<10^{-8}$ ou $\{x\}$ désigne la partie décimale du réel $x$
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Réponses
Il manquait une paire de parenthèses dans mon premier message donc je relance le défi :
Déterminer la valeur de l'entier naturel $n>1467$ tel que : $\{(e^{\pi\sqrt{163}})^3\}-\{e^{\pi\sqrt{n}}\}<10^{-8}$ ou $\{x\}$ désigne la partie décimale du réel $x$
J'imagine que "partie décimale" signifie partie fractionnaire.
Exactement "partie décimale" correspond à la partie fractionnaire.
Il n'est pas certain que l'entier $n$ soit unique contrairement à ce que suppose l'énoncé.
Sachant que $(e^{\pi \sqrt{163}} ) ^3=e^{\pi \sqrt{1467}} = 0,999999990123........$ , on recherche un entier naturel $n$ différent de 1467 tel que:
$e ^ {\pi \sqrt{n}} $ soit presque un entier par défaut (à $10^{-8}$ près )
ou plus précisément tel que:
$ frac( e^{\pi \sqrt{n}})> 0,999999980123$
Si on suppose l'équiprobabilité des décimales, on a donc une probabilité environ égale à $10^{-8}$ d'obtenir un tel nombre, ce qui n'est pas négligeable.
En étudiant les $10^8 $ premiers entiers naturels, on pourrait espérer ( avec un peu chance) en trouver un qui convienne.
Le problème est dans la précision ( et donc le temps de calcul ). Pour calculer, par exemple $ frac( e ^ {\pi \sqrt{100000000}}) $ il faut travailler avec 13700 digits :
Avec 13600 digits , le résultat peut être nul alors que le résultat correct obtenu avec 13700 digits est : 0,.29801222446070195767224320332543.......
Cordialement
PS/ Exercice intéressant en hiver si on se chauffe avec son PC
Vous avez vu juste, il est fort probable qu'il existe non pas une mais une infinité de valeurs de n solutions mais tout ceci est hors de porté pour le moment (sachant qu'on peine à trouver ne serait ce qu'un seul n solution)
Votre conseil est judicieux également concernant la chauffe de votre habitat, n'allumez plus vos grilles pains puissance max pour cet hiver faites plutôt tourner un bon petit morceau de code jour et nuit
PS: Pour ma part, je chauffe l'habitat depuis cet été et c'est loin d'être terminé
Juste pour savoir si quelqu'un s'est vraiment penché sur ce défi et s'il a mis la main sur "une solution" ?
L'entier $n=103763015$ est solution de l'inéquation :-P
C'est assez surprenant de constater qu'une autre solution se trouve quelques millions après la première solution ?!
L'entier $n=106109331$ est également solution.
Pour résumer, on obtient :
$frac(e^{\pi\sqrt{1467}})\sim frac(e^{\pi\sqrt{103763015}})\sim frac(e^{\pi\sqrt{106109331}})$
En tant qu'amateur, je serais bien malin de fournir une explication mathématique à ceci. Je me contente d'exploiter des données brutes de décoffrage. Cette dernière approximation est juste surprenante quand on sait qu'il a fallu tester un peu plus de 103 millions d'entiers pour obtenir la première ?!
Je reviens sur le sujet car la recherche fut longue mais elle a aboutit à un premier résultat :
L'entier $n=195246501$ est le plus petit entier naturel tel que le nombre réel $e^{\pi\sqrt{n}}$ admette une partie fractionnaire commençant par 8 zéros exactement.
Il vient $frac(e^{\pi\sqrt{195246501}})=0.00000000856...$
Le prochain record consisterait à trouver un entier $n$ tel que le nombre réel $e^{\pi\sqrt{n}}$ admette une partie fractionnaire commençant par $9$ zéros exactement à l'instar de $n=652$ (cet entier est issu de la constante de Ramanujan élevée au carré)
[Le LaTeX se met entre dollars. Poirot]
Au même titre que l'entier $n=1844122=2\times 7\times 157\times 839$ (qui constitue le nombre presque entier $frac(e^{\pi\sqrt{1844122}})=0.9999999\ldots$), l'entier $n=195246501=3\times 3023\times 21529$ est constitué par la multiplication de deux nombres premier irréguliers :
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_premier_régulier . Vous pouvez aisément retrouver la liste de ces nombres dans l'encyclopédie de Sloane : https://oeis.org/A000928
Sachant qu'environ 40% des nombres premiers rencontrés dans cette recherche sont des nombres premiers irréguliers, il n'est sans doute peu étonnant que les entiers $1844122$ et $195246501$ possèdent cette même particularité d'être constitué par la multiplication d'au moins deux nombres premiers irréguliers. Néanmoins, ces drôles de nombres (premiers irréguliers) reviennent suffisamment souvent pour ne pas s'interroger sur leur présence.
[Utiliser $\$$ au lieu des bannières [tex] qui ne marchent pas. AD]
S'il est vrai que l'entier $n=195246501$ est le plus petit entier naturel tel que le nombre réel $e^{\pi\sqrt{n}}$ admette une partie fractionnaire commençant par $8$ zéros exactement.
Il vient $frac(e^{\pi\sqrt{195246501}})=0.00000000856...$ https://oeis.org/A127031
Il serait surprenant (au sens de peu probable) de trouver un nombre réel de la forme $e^{\pi\sqrt{n}}$ tel que sa partie fractionnaire commence également par $8$ zéros exactement en observant les quelques millions de valeurs de $n$ suivantes (mettons jusqu'à $n=205000000$ pour fixer les idées).
Et pourtant, $frac(e^{\pi\sqrt{204990857}})=0.00000000345...$, la probabilité d'un tel événement (l'événement "trouver deux réels ou plus de la forme $e^{\pi\sqrt{n}}$ tel que leurs parties fractionnaires commencent par $8$ zéros exactement dans l'intervalle $[195000000;205000000]$") est inférieur à $\frac{5}{1000}$.