Définition claire de "négligeable"

Des exercices à faire : page 2, la section 2.3.
Ensuite, la 2.2 (en effet j'échange les deux sections, je trouve que c'est mieux en terme d"exercices").

En passant par https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_(mathématiques)#Limite_d.27une_fonction_en_un_point,

j'apprends que la fonction qui vaut $0$ sur $\mathbb{R}^*$ et $1$ en $0$ n'a pas pour limite $0$ en $0$.

Bah oui sinon la fonction serait continue...

Salut,

Perso $o$, je vois ça comme une inconnue vérifiant $o^2=0$ (Une racine de $0$ non nulle, je sais c'est un peu complexe a imaginer). Mais on peut aussi dire qu'on va jouer avec des point épais, et c'est important ;

Un point épais c'est un nombre $A$ dela forme $a+b(o)$, exemple de règle $(1+2(o))^2 = 1+4(o)+4(o)^2 = 1+4(o)$, oui, car $(o)^2=0$.

Je pense qu'avec ma définition, il faut que je donne un exemple d'utilisation.

On imagines que tu cherches la tangente au point $(1,1)$ du cercle d'équation $X^2+Y^2=2$.

Et bien, on va juste chercher les points du cercle, mais pas dans $\R$, mais dans l'ensemble des points épais.

Disons $A := a+x(o)$ et $B := b+y(o)$, avec la condition que le point $(a,b)$ soit dans le cercle $a^2+b^2=2$.
$$
A^2+B^2 = 2 \quad \Longleftrightarrow (a+x(o))^2+(b+y(o)^2=2 \quad \Longleftrightarrow \quad 2(ax+by) (o)= 0 \quad \Longleftrightarrow ax+by =0 \ \ (2 \ne 0)
$$


Prenons par exemple, $a=1$ et $b=1$, le point $(1,1)$ du cercle, on obtient : $x+y = 0$ : la direction tangente au cercle : $(x-1)+(y-1)=0$



Je sais pas si ça fonctionne bien :-D

Il n'y a guère de satisfaction intellectuelle a attendre. Il y a une définition de limite d'une fonction en un point qui est valable dans n'importe quel espace topologique, quand on l'applique à $\R$, on voit que cette fonction n'a pas de limite en $0$, ce qui correspond strictement au dessin que l'on peut en faire. Ensuite, les limites épointées, pfff. Personnellement, je trouve que ça induit des prises de têtes sans grand intérêt. Si l'on y tient, autant considérer les limites le long d'un filtre quelconque. Ca ne sert pas à grand-chose dans la pratique, mais bon.

Le fait qu'il y ait une limite ou pas dépend donc de ce qui se passe au au point considéré : je trouve ça gênant car ça ne correspond pas à l'idée que je me fais du "comportement asymptotique". Tant pis pour moi, donc.


1. De manière standard, les limites à droite et à gauche sont "épointées", elles. Du coup, la fonction citée plus haut a une limite à droite en 0, une limite à gauche en 0, ces deux limites sont égales, mais elle n'admet pas de limite en 0. :-S

2. https://fr.wikipedia.org/wiki/Limite_(mathématiques)#cite_note-3

3. https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Limit_of_a_function&oldid=324069338

Après je suis bien d'accord qu'il y a pas mort d'homme, hein.

Il est temps de ressortir un document posté maintes fois ici, mais c'est pour la bonne cause : https://www.math.u-psud.fr/~perrin/CAPES/analyse/fonctions/definitiondelimite.pdf.
Il est vrai que l'on s'est écarté de la question du fil.

Cordialement.

Ce débat me rappelle celui sur fonction = application ou pas