Définitions du sinus

Utilise plutôt l’écriture exponentielle : $e^{ix}=...$

Si l'on définit les fonctions sinus et cosinus par leur développement en série entière, on peut en déduire complètement les propriétés de ces fonctions, toutes les formules de trigo, et l'étude de ces fonctions : parité, périodicité, croissance, convexité.

Ceci permet de démontrer le théorème fondamental : l'application $t\mapsto e^{it}$ est un morphisme surjectif du groupe additif $\mathbb R$ sur le groupe multiplicatif $\mathbb U$ des complexes de module 1, et le noyau de ce morphisme est le groupe additif $2 \pi \mathbb Z$.

Autrement dit, pour tout $(a,b) \in \mathbb R^2$ tels que $a^2+b^2=1$, il existe $t \in \mathbb R$ tel que : $\cos t=a$ et $\sin t =b$, et l'ensemble de ces réels $t$ est $\{t_{0}+2k\pi |k\in \mathbb Z\}$ où $t_0$ est l'un d'eux..

Cette classe de réels est la mesure de l'angle des vecteurs $(1,0)$ et $(a,b)$, et ceci fait le lien entre les fonctions circulaires définies analytiquement et leur interprétation géométrique.

C'est juste un résumé rapide, je préciserai volontiers tel ou tel point qui pourrait n'être pas clair.

Bonne soirée.
Fr. Ch.