série de Fourier

gustav
gustav
dans Analyse
Bonjour à tous
peut-on connaître la fonction à partir de sa coefficients de Fourier ? Merci

Réponses

  • Dom
    Dom
    Ne connaissant pas le cadre de la question, je ne pense qu'au "théorème de convergence normale des séries de Fourier" (ou Dirichlet aussi).
    Mais peut-on préciser ?
  • gerard0
    gerard0
    Bonjour.

    Si une fonction est développable en série de Fourier (donc égale à sa série), la réponse est évidemment oui. Mais si on change la valeur de la fonction en un point, la série ne change pas. Donc la réponse à t question est "ça dépend !".

    Cordialement.
  • MrJ
    MrJ
    Si une fonction est perifodique et intégrale, alors les coefficients de Fourier déterminent la fonction presque partout.

    Si la fonction est de carée integrable, cela vient de la convergence en norme 2.

    Dans le cas général, j'ai un trou de mémoire.
  • Poirot
    Poirot
    Plus précisément l'application $$f \mapsto (c_n(f))_n$$ définie sur $L^1([0, 2\pi])$ est injective.
  • MrJ
    MrJ
    Merci Poirot, c'est ce que je voulais écrire, mais sur mon portable, c'est compliqué d'écrire des mathématiques.(:P)
  • mojojojo
    mojojojo
    A noter tout de même qu'il existe des fonctions $L^1$ dont la série de Fourrier diverge en tout point, donc même si on a bien une injection de $L^1$ dans $c_0(\mathbf Z)$ on ne sait pas forcément "recomposer" $f$ à partir de ses coefficients de Fourrier.

    Par contre dans $L^p$ avec $p>1$ tout se passe bien et on va avoir des convergences presque partout ou en norme suivant la sommation qu'on utilise.
  • gustav
    gustav
    Bon si on suppose que la fonction est de classe $ C^1 $ . Que se passe-il ?
  • MrJ
    MrJ
    La convergence de la série de Fourier est normale sur l'ensemble des réels.
  • gustav
    gustav
    mais est-ce qu'on peut connaître la fonction à partir de la série ?
  • Dom
    Dom
    Et bien la fonction est la somme de la série.
  • Poirot
    Poirot
    La série de Fourier de $f \in \mathcal C^1_{per}$ converge normalement sur $\mathbb R$ tout entier vers $f$ : $$\forall x \in \mathbb R, f(x) = \sum_{n=-\infty}^{+\infty} c_n(f) \mathrm{e}^{inx},$$ et la convergence est normale.
  • MrJ
    MrJ
    Oui pardon, j'ai en effet oublié de dire que elle convergé vers la fonction $f$.
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