fonctions convexes infiniment dérivables

ahmedf
ahmedf
dans Analyse
Bonsoir,

Soit $\Phi : \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ une fonction convexe.

Est ce qu'on peut affirmer qu'il existe une suite monotone de fonctions convexes $C^\infty$ (ou $C^2$) qui converge ponctuellement vers $\Phi$ ?

Réponses

  • P.
    P.
    Oui certainement, car une fonction convexe est une envelope de fonctions affines : en gros $\int_{\R^2}(ax+b)\mu(da,db)$ et il suffit d'approcher la mesure positive $\mu$ par des mesures a densite $C^{\infty}$ par exemple en convoluant $\mu$ avec une gaussienne $N(0,\sigma^2I_2)$ et en faisant tendre $\sigma^2$ vers zero. Il y a certainement des details a travailler.

    Pardon pour l'absence d'accents.
  • christophe c
    christophe c
    Toute fonction continue est limite uniforme de fonctions C infini. Suffit d'adapter Stone W et arrondir les jonctions. Idem en ajoutant convexe en hypothèse et conclusion. De mon téléphone quasi vide de batterie
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • Poirot
    Poirot
    Et la suite peut toujours être prise monotone ? Et la convergence dans Stone-Weierstrass peut être étendue à $\mathbb R$ ? Pardon mais j'ai des doutes là-dessus.
  • reuns
    reuns
    @Christophe : Je suis d'accord avec @Poirot que Stone-Weierstrass c'est la pire idée pour approximer une fonction.

    Si $f$ est continue, par convolution on peut l'approximer localement pour la norme $\sup$ par une fonction $C^\infty$.
    Par exemple en convoluant par $n Ce^{-1/(1- n^2 x^2)}1_{|n x|< 1}$ une fonction $C^\infty$ positive et à support compact.

    Maintenant tu peux aussi faire varier $n$ avec $x$ (c'est mieux que $n(x)$ soit $C^\infty$..) ce qui permet d'approximer $f$ uniformément même si celle-ci a des variations super rapides.

    Enfin l'approximation monotone, ben il suffit d'approximer $g(x) = f(x)-\epsilon$ de cette manière.
  • mojojojo
    mojojojo
    Une fonction convexe est dérivable presque partout et sa dérivée est croissante. A partir de là on approche facilement une fonction convexe par une fonction convexe affine par morceaux : il suffit de prendre des bouts de tangentes de notre fonction de départ. Ensuite on peut modifier un peu les recollements de ces tangentes pour les rendre $C^\infty$ et conserver la convexité. Pour s'assurer de la monotonie on approches les $\Phi-1/n$ comme avant et voilà.


    Ce n'est peut-être pas très clair mais si vous faites un dessin ça devrait aller mieux, enfin je l'espère...
  • ahmedf
    ahmedf
    Merci pour vos réponses, très éclairantes.

    Est ce qu'il y'a une façon de le démontrer rigoureusement (pour un élève en prépa , donc avec des convolutions mais sans utiliser de mesures) de façon relativement concise ?
  • christophe c
    christophe c
    Non, c'est peu vraisemblable. C'est une rédaction lourde et pénible (sans difficulté certes), avec des calculs. De plus arrondir les angles des affines par morceaux à coup de $C^\infty$, en prépa, il faudra justifier avant ce que sont ces petites rustines à base d'exponentielles, ça fera donc un lemme.

    Bon, après on peut empaqueter le truc avec des lemmes en cascade, mais je ne vois pas trop si c'est une extrapolation fidèle de ton désir.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • pourexemple
    pourexemple
    Bonsoir,

    @Ahmed : oui, on peut et cela de manière simple :

    $$f_n(x)=\frac{1}{\log(n)}+\int_0^{\frac{1}{n}} \int_0^{\frac{1}{n}} n^2 \Phi(x+t+u)\text{d}u\text{d}t$$

    Bonne soirée.
  • mojojojo
    mojojojo
    Quelqu'un aurait répondu comme ça a une de tes propres questions tu te serais empressé de dire qu'il manque un paquet de choses...

    Par ailleurs je pense que tu te trompes. Si l'on prend $\Phi(x)=ax$ alors $f_n(0)=\log(n)^{-1}+a/n$ n'est pas monotone pour $a$ bien choisi, et le rajout du $1/\log(n)$ n'y change rien.
  • pourexemple
    pourexemple
    Bonjour,

    @Mojojojo : oui, et je peux essayer de dévélopper à la demande.
    Ensuite pour le côté non monotone tu as raison, mais maintenant je pense que l'on peut adapter cette exemple pour avoir de la monotonie.

    Bonne journée.
  • christophe c
    christophe c
    PE a écrit:
    oui, et je peux essayer de dévélopper à la demande

    Pourquoi, après avoir mis 5 semaines à ponde ton calcul savant, n'as-tu pas prévu dans le même temps de rédiger un truc propre du premier coup?
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • pourexemple
    pourexemple
    @CC :
    Non, je cherchais une question que je comprendrais, à laquelle je serais répondre et à laquelle personne n'a répondu de manière opérative, je suis tombé sur celle là.
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