Opérateur inversible

Bonjour @seb78.
peux-tu compléter, merci.

Si $T'$ est l'inverse de $(T,M)$ on a seulement $T'\circ T(x)=x$ pour tout $x\in M$ mais on peut avoir un $x_0\in D\setminus M, \ T'\circ T(x_0)=x_0$, non ?

Je pense que mon résultat sera vrai si j'ajoute l'injectivité du mon opérateur, non?

Voilà mon énoncé : Soit $T:D\to H$ un opérateur non borné et injectif de $D$ (s.e.v de $H$) vers $H$

On suppose que $T$ est non-inversible , soit $M$ un s.e.v de $D$. Peut on dire que $T|M$ qui va de $M\to H$ est encore non inversible?.

Autre question si vous permutez, J'ai 3 opérateurs $R,S$ et $T$ non bornés tels que $R=S+T$ est définie sur un domaine de $L^2$ noté $D_R$.

Je suppose que $||Ru||^2=||Su||^2+||Tu||^2$ pour tout $u\in D_R$ et je suppose aussi que $S$ et $T$ sont injectifs et non-inversibles. Peut on dire que $R$ est non-inversible?

L'hypothèse de l'injectivité est cruciale, sans cette hypothèse on peut prendre les projecteurs $R=I, S=P$ et $T=I-P$
Merci

Si $T$ est injectif et non inversible, n'implique pas que $T$ est nécessairement pas surjectif.

Un opérateur $T$ non borné est inversible s'il est bijectif et d'inverse $T^{-1}$ borné.non?

oui on sous entend, puis on est déjà en dimension infinie.

Je suis désolé, je reprends juste la question 2:
J'ai 3 opérateurs $R,S$ et $T$ non bornés tels que $R=S+T$ est définie sur un domaine de $L^2$ noté $D_R=D_T \cap D_S$.


Je suppose que $||Ru||^2_2=||Su||^2_2+||Tu||^2_2$ pour tout $u\in D_R$ et je suppose aussi que $S$ et $T$ sont injectifs et non-inversibles. Peut on dire que $R$ est non-inversible? c-a-d $R$ possède un inverse $R^{-1}$ borné.

L'hypothèse de l'injectivité est cruciale, sans cette hypothèse on peut trouver des opérateurs vérifiant $||Ru||^2_2=||Su||^2_2+||Tu||^2_2$ cependant $S$ et $T$ ne sont pas injectifs, ( par exemple $||u||^2_2=||Pu||^2_2+||(I-P)u||^2_2$ où $P$ est un projecteur.
Merci