agreg leçon 226 suites $u_{n+1}=f(u_n)$

Champion · January 2017

Bonjour à tous,
Je suis actuellement en prépa agreg et je cherche un développement pour la leçon portant sur les suites vectorielles et réelles de la forme $f(u_n)=u_{n+1}$.
Je compte déjà faire le modèle de Galton Watson mais en deuxième développement j'aimerais ne pas faire la méthode de Newton (appliquée au polynômes) ... Auriez-vous des idées ? Par exemple traiter un exercice plutôt péchue, comme les suites logistiques...
Cordialement,
BBC

Poirot · January 2017

Dans cette leçon je développais Cauchy-Lipschitz, mais c'est un peu abusé.

Dom · January 2017

Dans "Le petit guide du calcul différentiel" de Rouvière on trouve quelques applications de cette feuille jointe.
Elle est issue d'une leçon pour le concours interne.

Celle avec le système non linéaire (en bas à gauche) est un bon développement d'après moi car il fait intervenir le choix d'une norme pour pouvoir conclure à la contraction (théorème du point fixe).

L'autre, en géométrie peut être intéressante (il faut dans ce cas savoir ce que représente, géométriquement, le point limite), disons originale.

Attention, je ne sais pas si ce document contient ou non des erreurs. 59166

Dasson · January 2017

Bonjour,
J'ai découvert récemment les suites logistiques et propose une animation
http://rdassonval.free.fr/flash/logistiques0.swf
avec cette présentation vidéo
http://rdassonval.free.fr/flash/logistiques0.mp4
qui me semble pouvoir intéresser des profs de TS.
Un peu simpliste pour ce que tu recherches ?
Probablement des erreurs à corriger, des améliorations à apporter...
Je ne suis pas spécialiste de la chose, et un peu vieux pour le devenir(:P)

Chaurien · January 2017

Voici deux énoncés qui peuvent être utiles.
Bonne nuit.
Fr. Ch.

Magnéthorax · January 2017

Résolution de problèmes d'optimisation par itération (vague souvenir) ?

mojojojo · January 2017

Dans la même veine "système dynamique" que la suite logistique je suppose qu'on pourrait regarder d'autres systèmes dynamiques de base. Quelques exemples élémentaires ici. Ou pourquoi pas l'application de Gauss et le développement en fraction continue ? Dernière idée : un théorème ergodique (probablement une version affaiblie du théorème de Neumann, pour que ça rentre en 15min).

Pas sûr que mes idées soient bonnes, je ne suis pas très au courant de ce qui est attendu sur cette leçon, mais si tu trouves une idée qui te plaît...

aléa · January 2017

Perso, je trouve les aspects systèmes dynamiques très sympathiques, c'est là qu'iraient mes choix, mais attention , la leçon s'appelle maintenant

226 Suites vectorielles et réelles définies par une itération un+1=f(un). Exemples. Applications à la résolution approchée d'équations.

Magnéthorax · January 2017

Champion : pour moi, il y doit y avoir l'aspect système dynamique et l'aspect analyse numérique. Et vu le titre complet de la leçon, il me semble difficile de faire l'économie d'un développement orienté "résolution approchée" d'équations. Par ailleurs, la méthode de Newton (et ses variantes) trouve des applications plus larges que la résolution approchée d'équations polynomiales.

Poirot · January 2017

Tu peux très bien développer Newton en version "générale". L'inconvénient est que les hypothèses sont souvent pas faciles à retenir.

Champion · January 2017

Bonsoir à tous,
Merci beaucoup pour votre aide :
Dom je vais y jeter un oeil, c'est vrai que le PGCD est un excellent ouvrage,
Dasson, j'ai bien peur que cela soit un poil en dessous du niveau exigé ...
Chaurien, ca me semble intéressant, le problème est que cela est peut-être un poil court niveau temps...
Magnéthorax, que veux tu dire par problème d'optimisation ? type gradient ? Le soucis est que je n'ai aps fait d'analyse numérique donc j'ai peur de me lancer dans ces notions ...
Mojojojo, tes idées me plaisent bien ^^, cependant que veux tu dire sur tes deux dernières idées ? elles me paraissent très intéressantes mais je ne vois aps trop le lien avec le sujet ...
Aléa; tu vexu dire que l'idée des systèmes dynamique s'éloigne un peu trop du thème ?
Magnéthorax et Poirot ; pensez vous que la méthode Newton avec des polynômes est assez consistantes ? Pour vous je ne pexu faire ml'économie d'un développement de ce ty pe ?
Merci encore à tous, et désolé du délai de réponse

Bonne soirée!!

mojojojo · January 2017

Le rapport c'est que les coefficients de la fraction continue de $x$ sont liés à des $T^n(x)$, je te laisse regarder l'écrit d'analyse de l'agreg de l'année dernière par exemple. Pour le théorème de Von Neumann il dit que $U^n x$ tend vers $Px$ avec $P$ un projecteur.

Comme je l'ai dit, pas sûr que le lien avec la leçon soit suffisamment fort.

aléa · January 2017

@Champion: non, je dis essentiellement la même chose que magnetotorax.

A une époque, cette leçon s'appelait "Comportement d'un système dynamique discret défini par une relation $u_{n+1}=f(u_n)$. Alors, il était acceptable de ne pas parler d'analyse numérique.
J'avais écrit un joli plan où la méthode de Newton était appliquée...dans le domaine complexe à $z^3=1$.

Il est clair que ce genre de plan ne convient pas au titre d'aujoud'hui, donc attention à ce qu'on trouve sur le net.

Magnéthorax · January 2017

Je t'invite à lire ici attentivement les commentaires du jury sur la 219, la 226 et la 233 :

http://media.devenirenseignant.gouv.fr/file/externe/70/3/rj-2016-agregation-externe-mathematiques_692703.pdf

gilles benson · January 2017

la notion de branching process avec l'itération de fonctions génératrices tombe dans ce domaine (voir pour info un problème de l'Essec de 1986 en maths 2).

Magnéthorax · January 2017

Ce n'est pas déjà ce que propose l'auteur du fil ?

Chaurien · January 2017

Les deux petits énoncés que j'ai fournis sont assurément bien modestes. Ils me semblent néanmoins utiles pour les suites réelles $u_{n+1}=f(u_n)$, moyennant une hypothèse minimale qui d'après mes lectures n'est pas si répandue.
Ils montrent à moindres frais qu'un point fixe attractif a un « bassin d'attraction », qu'il convient de déterminer dans chaque cas, et qu'un point fixe répulsif ne peut être limite de la suite, sauf cas trivial où elle y stationne. Reste le cas où la dérivée au point fixe est $1$ ou $-1$, ce qu'il faudrait regarder.

curiosity · January 2017

Effectivement, je serais surpris que le jury se contente de ce genre d'énoncés spécifique au cas unidimensionnel. Je dis ça par rapport à la leçon "correspondante" de l'interne où l'on se place explicitement dans ce cas, et même à ce niveau, ces seuls énoncés me paraissaient trop "classiques".
Je suis attentivement les suggestions pour cette leçon :-).

Champion · January 2017

Bonjour ,
en effet je pense que le processus de Galton Watson est déjà un processus de branchement...
Chaurien et Curiosity, j'ai pensé à traiter cela mais je pense que cela convient mieux dans le plan que pour un développement à part entière. Je sais que le FGN Analyse 1 le traite dans le cas d'une suite récurrente
Merci de toutes vos réponse !!

pourexemple · January 2017

Bonsoir,

Une application peu connue d'un théorème de point fixe : énoncé 153.

Bonne soirée.

Poirot · January 2017

Ton énoncé ne veut rien dire pourexemple "la suite $\exists k, u_k=k$.

Siméon · January 2017

@Champion : tu aussi penser au critère de Kitai, qui faisait un joli développement en dimension infinie pour cette leçon et quelques autres. Mais il convient peut-être moins bien à cette nouvelle formulation tournée vers l'analyse numérique.

pourexemple · January 2017

Bonjour,

@Poirot : cela veut simplement dire que la suite $u_k$ a un point fixe, et si on note $f(k)=u_k$ alors la suite récurrente $f(a_{n})=a_{n+1}$, pour $a_0 \in \N^*$ quelconque, converge vers ce point fixe, sans ces indications l'énoncé est difficile à résoudre.

Bonne journée.

pourexemple · January 2017

en particulier : énoncé 158 que je ne vois pas comment résoudre autrement qu'avec un théorème de point fixe.

gilles benson · January 2017

En effet, le processus annoncé dans les propositions initiales est bien un processus de branchement...
Si tu vas fouiller dans Complex Dynamics de Carleson et Gamelin, tu trouveras de nombreuses choses sur l'itération des polynômes complexes de degré 2 et en ouvrant ce bouquin, je tombe sur le théorème de Wolff-Denjoy qui concerne l'itération des fonctions analytiques ; dans cette même direction, il y a le théorème de Cartan : voir Remmert: Classical Topics in Complex Function theory chez Springer .

pourexemple · January 2017

Bonsoir,

Voilà la réponse complète ici : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?5,1396624,1396624#msg-1396624

Pour agrémenter une leçon d'agreg avec un exercice qui repose sur une utilisation astucieuse d'un théorème de point fixe.

Bonne soirée.