Théorème pour solution globale

tintin
tintin
dans Analyse
Bonjour
Je cherche désespérément l'énoncé du théorème de "solution globale" pour un problème de Cauchy.
Si on a le problème de Cauchy $$y'=f(x,y),\quad y(x_0)=y_0,$$ avec $f: I \times E \to E$, où $I$ est un intervalle ouvert de $E$ et $E$ est un espace de Banach, c'est quoi les conditions sur $f$ pour dire que le problème de Cauchy admet une unique solution globale (c'est-à-dire définie sur $I$ tout entier) ?
Merci par avance pour votre aide.

Réponses

  • MrJ
    MrJ
    Il suffit que $f$ soit lipschitzienne par rapport à la seconde variable : pour tout réel $t_0$, il existe un voisinage $V$ de $t_0$ et un réel $K$ tel que pour tout réel $t\in V$, la fonction $f(t,\cdot)$ est $K$- lipschitzienne.

    C'est par exemple le cas des équations différentielles linéaires.
  • tintin
    tintin
    Dans un de mes anciens cahiers, il est dit que si f est Lipschitz par rapport à y et uniformément lipschitzienne par rapport à x, alors le problème de Cauchy admet une unique solution globale (c'est à dire défnie sur I tout entier). Le problème est que je ne retrouve pas de référence qui parle de ça. Pouvez vous m'aider à confirmer cette version?
    Merci par avance.
  • MrJ
    MrJ
    Voici un document avec l'énoncé précis et une démonstration : http://math.webgirand.eu/pdf/dvp_agreg/C-L.pdf.
  • tintin
    tintin
    Merci beaucoup.
    Donc si elle est lipschitzienne par rapport à la variable $y$, on a directement l'existence et l'unicité d'une solution définie sur $I$ tout entier ? ($f: I \times E \to E$). C'est bien ça ? Donc c'est une solution maximale ?
    2. Ça veut dire quoi globalement lipschitzienne par rapport à $y$ ? Parce que d'après la définition, je ne vois pas la différence avec Lipschitz tout court.
    Merci par avance.
  • Philippe Malot
    Philippe Malot
    Bonsoir,
    C'est sûrement écrit pour bien mettre l'accent sur cette condition, étant donné que dans le théorème de Cauchy-Lipschitz classique, la condition est localement lipschitzienne par rapport à $y$. Cela veut effectivement dire lipschitzienne.
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