différentiabilité
Soit f:U
>R^p ou U ouvert de R^n
on suppose que f est une application quelconque .
montrer que f est de classe C^1 si et seulement si toutes ses dérivées partielles sont définies et continues.
j'ai toujours utilisé cette propriété sans le demontrer et je viens de constater que la demo m'echappe svp les indications.
>R^p ou U ouvert de R^n
on suppose que f est une application quelconque .
montrer que f est de classe C^1 si et seulement si toutes ses dérivées partielles sont définies et continues.
j'ai toujours utilisé cette propriété sans le demontrer et je viens de constater que la demo m'echappe svp les indications.
Réponses
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Quelle est ta définition de : $f$ est $C^1$ ?
Je dis cela car dans mes souvenirs, il s'agit justement du fait que les dérivées partielles existent et sont continues. -
exactement c'est cette definition que j'ai mais ce qui me surprend est que c'est ca l'exercice qui m'a ete proposé
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On supposer $p=1$. Pour la rédaction, il vaut mieux commencer par le cas $n=2$. On peut écrire
\[f(a+h,b+k)-f(a,b)=(f(a+h,b+k)-f(a+h,b))+(f(a+h,b)-f(a,b)).\]
En utilisant l'hypothèse, on peut approcher les deux termes avez les dérives partielles. -
f est C^1 si f est differentiable et sa differentielle est continue
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Parfois on trouve le théorème : si $f$ est $C^1$, alors $f$ est différentiable.
Les mots utilisés nous font penser que "c'est évident" mais il n'en est rien (sauf en dimension 1).
Ici, par exemple, à la page numérotée 25 : http://www.math.univ-toulouse.fr/~jroyer/TD/2013-14-L2PS/L2PS-Ch3.pdf
Edit : je viens de voir ta définition de "$C^1$", au boulot ;-)
Par contre, j'ai l'impression de m'embrouiller, avec cette "différentielle" , c'est une fonction linéaire...
D'autres vont arriver... -
Bonsoir,
Juste une remarque d'ordre méthodologique :
Ton exercice est un théorème fondamental du cours.
Tu ne devrai pas démontrer un théorème ou résultat qui fait parti du cours ou du moins tu n'es pas obligé, mais tu dois l'apprendre, c'est à dire, voir comment est rédigée la démonstration à partir d'un cours et la comprendre. C'est un prérequis, et non une activité de réflexion, alors fais attention.
Par exemple, dans le cours suivant : https://www.math.univ-toulouse.fr/~gavrilov/enseignement/CalculDiff/CalculDiffL3/Comte-cours.pdf à la page : $ 29 $, $ \ \ 30 $ et $ 31 $, il y'a la démonstration du résultat que tu cherches. -
Une application $f : U \rightarrow \mathbb R^p$ est de classe $\mathcal C^1$ si elle est différentiable et l'application $df : U \rightarrow End(\mathbb R^n, \mathbb R^p)$ est continue.
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voila comment j'ai raisonné mais j'aimerais que vous y jetez un coup d’œil correctif. Je suis entrain de démontrer la continuité de la différentiel.
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vous m'escusé je suis encore entrain d'apprendre a utiliser le Latex. donc.......excusé mon ignorance a ce niveau.
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j'ai omis de montrer que la différentielle ( l'application que j'ai prise pour différentiel) est linéaire en a et comme nous sommes en dimension finie elle est continue avant de conclure.
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C'est très bien pour ce que tu as fait. Tu as juste une petite coquille au début c'est "montrons que $f$ est différentiable en $a$".
Ensuite comme je l'ai dit, il ne faut pas montrer la continuité de l'application linéaire $df_a$, qui est automatiquement continue puisque linéaire d'espace de départ de dimension finie. Il faut montrer la continuité de $df : U \rightarrow End(\mathbb R^n, \mathbb R^p)$ ! -
J'avais pas constaté Merci pour la remarque.
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voila la demo de la continuité de la différentielle
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vous m'excusez la norme avec trois bar n'est pas celui de R^p mais des applications linéaire continues.
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Je n'ai pas regardé en détails, mais je pense que c'est bon. Tu pourrais aller plus vite en remarquant juste que l'application différentielle $df$ est une composée d'applications continues, grâce à la formule $$df : a \mapsto \sum_{k=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_k}(a) dx_k.$$ En effet, les applications $a \mapsto \frac{\partial f}{\partial x_k}(a)$ sont toutes continues par hypothèses, puis $a \mapsto \frac{\partial f}{\partial x_k}(a) dx_k$ aussi (grâce à l'autre fil que tu avais ouvert sur la continuité de $(\lambda, x) \mapsto \lambda.x$ définie sur $\mathbb K \times E$, avec $E$ un espace vectoriel normé) puis enfin le tout est continu par somme.
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merci beaucoup méthode court et efficace. As tu aussi un proposition pour montrer le premier vollet???
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Non, je ne vois pas comment faire plus rapidement !
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Dac j'aimerais de l'aide pour montrer le sens retour.
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je ne comprends pas bien le theoreme d'inversion local.Quelqu'un pourrais bien me l'expliquer svp???
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Le théorème d'inversion locale est un outil très puissant en calcul et géométrie différentiels. Il te dit que si tu as une application de classe $\mathcal C^1$ définie sur un ouvert $U$ (et à valeurs dans $\mathbb R^p$ disons), qui est telle que son application différentielle en un point $a \in U$ est inversible, alors on peut carrément inverser la fonction $f$ sur un voisinage de $a$. Plus précisément, il existe un voisinage ouvert $V \subset U$ de $a$ et un voisinage ouvert $W \subset \mathbb R^p$ de $f(a)$ tels que la restriction de $f : V \rightarrow W$ soit un $\mathcal C^1$-difféomorphisme, c'est-à-dire est de classe $\mathcal C^1$, bijective, et d'application réciproque $f^{-1} : W \rightarrow U$ de classe $\mathcal C^1$.
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puis je avoir un exemple d'application svp???
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Il y en a à la pelle. Le théorème des fonctions implicites, le théorème d'inversion locale pour les fonctions holomorphes (important en géométrie complexe), un truc marrant sur le fait que le groupe $GL_n(\mathbb R)$ n'admet pas de sous-groupes arbitrairement petit, on peut démontrer l'équivalence des différentes définitions de sous-variétés différentiables de $\mathbb R^n$, etc. C'est un théorème vraiment central en calcul/géométrie différentielle (je ne suis pas du tout spécialiste).
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Application
Soit $$f(x) = x+x^2 \sin(\frac \pi x)\, \text{si}\, x\neq 0\, \text{et}\, f(0) = 0$$
Montrer que f n’est pas de classe $C^1$ dans aucun voisinage de 0.
A trouver toute seule!Le 😄 Farceur -
je ne sais pas vraiment que faire???
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tu as prouvée que f est inversible en 0, donc tu suppose par l'absurde que f est C^1 au voisinage de 0, donc le théorème te permet d' inverser f au voisinage de 0. il faut chercher une contradictionLe 😄 Farceur
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je ne trouve vraiment pas comment exhiber la contradiction svp. une idée pour me guider.
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de l'aide svp
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dernière indication (sinon l'exercice perd son charme), la contradiction a un lien avec la monotonie de fLe 😄 Farceur
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dac
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voila mon idée bien qu'il soit un peu flou.
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(tu)Tu es très forte en mathLe 😄 Farceur
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Non je ne suis pas fort c'est toi qui m'a indiqué sinon j'allais pas y arrivé.merci
puis je avoir la démonstration de ce théorème??? -
Svp quelqu'un peut il avoir la démonstration du théorème d'inversion locale????
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C'est fait dans tous les bouquins de calcul différentiel. Ça utilise le théorème du point fixe de Banach (ou Picard, selon sa confession). La version la plus simple que je connaisse se trouve dans le Lafontaine sur les variétés différentielles, avec un théorème de point fixe à paramètre.
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