convergence dans $L^2$.

floyd mayweather · January 2017

Bonjour.

J'ai une suite $(f_n)$ dans $L^2$ telle que $||f_n||=\pi$ pour tout $n\in\N$ et $f_n\to0$ simplement.

Je veux montrer qu'on ne pas extraire de $(f_n)$ une sous suite convergente. Pour ce faire je raisonne ainsi:

Supposons que $f_{n_k}\to g$ dans $L^2$, donc $||f_{n_k}||\to ||g||$ simplement, mais $f_n\to0$ simplement, donc par unicité de la limite $g=0$ p.p.

Ainsi $\pi=0$ absurde.

Ce raisonnement est il correct?

Merci

MrJ · January 2017

Tu utilises implicitement que si $(f_n)$ converge simplement vers la fonction nulle, alors $\|f_n\|$ converge vers 0, ce qui est faux.

Il existe un lemme de Riesz dit que si $(f_n)$ converge vers $f$ dans $L^p$, alors il existe une sous suite de $(f_n)$ qui converge simplement vers $f$. Ce lemme te permet facilement de montrer ton résultat.

floyd mayweather · January 2017

Si $f_{n_k}\to g$ dans $L^2$ donc on peut extraire une autre sous suite notée $f_{{n_k}_j}$ telle que $f_{{n_k}_j}\to 0$ simplement mais $f_n\to 0$ aussi simplement.

Donc $g=0$, mais la convergence de $f_{n_k}\to g$ dans $L^2$ implique la convergence simple de $||f_{n_k}||\to|| g||$ et $|f_{n_k}||=\pi$. absurde non?

MrJ · January 2017

Oui tout à fait (par contre ton premier 0 est un g dans ton raisonnement).

floyd mayweather · January 2017

Merci beaucoup @MrJ

convergence dans $L^2$.

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