Existe ou n'existe pas ?
dans Analyse
Bonjour,
On se place dans $\R^2$ euclidien, $B(a,r)$ la boule fermée, $B^o(a,r)$ est la boule ouverte.
Existe-t-il, $f \text{ : } B(0,1) \rightarrow (B(0,2)\setminus B^o(0,1))$ fonction continue et surjective ?
Bonne journée.
On se place dans $\R^2$ euclidien, $B(a,r)$ la boule fermée, $B^o(a,r)$ est la boule ouverte.
Existe-t-il, $f \text{ : } B(0,1) \rightarrow (B(0,2)\setminus B^o(0,1))$ fonction continue et surjective ?
Bonne journée.
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Réponses
2/en supposant $f$ injective.
3/Puis en supposant $f$ bijective.
Tu n'as pas vraiment réfléchi à la question pour $f$ injective non ?
Pour $f$ bijective c'est non, l'un est simplement connexe et l'autre non.
pour le 3/ si tu as une réponse en utilisant le programme de L3 max je suis preneur.
Le groupe fondamental, ce n'est pas $\pi_0$, l'ensemble des composantes connexes par arcs, mais $\pi_1$. Et je ne vois pas la différence entre dire qu'un espace est simplement connexe et dire que son groupe fondamental est trivial.
Mais j'aurais aimé une preuve sans tous ces artifices.
Merci.
D'ailleurs ici on peu se contenter de lacets et d'homotopie, peu importe la structure de groupe, pas besoin de fixer de point de départ etc... Voir qu'un homéomorphisme réalise une bijection des lacets homotopes au lacet nul ne devrait pas poser de problème à un étudiant de L3. Ensuite pour voir que ta couronne n'est pas simplement connexe il suffit d'intégrer $1/z$ le long d'un cercle et voir que ça ne fait pas $0$. Je trouve que c'est un résultat qui utilise joliment topologie et analyse complexe de niveau L3 !
Sinon moi j'aurais tendance à penser qu'il ne s'agit pas "d'artifices", voir même plutôt l'inverse : en dimension $2$ l'homotopie suffit mais en dimension $>2$ c'est plus compliqué et il faut sortir les gros outils. D'un certain point de vue c'est donc presque une chance qu'il n'y ait besoin que du $\pi_1$ pour conclure.
mojojojo, en L3 on n’aborde pas nécessairement l'homotopie, je n'ai vu que la définition d'un lacet homologue à $0.$ Je n'ai encore jamais entendu parler d'homotopie, ça devrait arriver la semaine prochaine
Hs off