Résultat général d'analyse fonctionnelle
dans Analyse
Bonjour
Soit $f\in C^0(\mathbb R^2, \mathbb R)$, telle que $,\exists M>0, \forall (x,y)\in\mathbb R^2$ avec $f(x,y) \geq M$.
Soit $g \in C^0(\mathbb R,\mathbb R)$, existe-t-il une unique fonction $ h \in C^0(\mathbb R,\mathbb R)$ telle que : $$\forall a\in \mathbb R,\quad \int_0^{h(a)} f(a,x)\,\text{d}x=g(a)\ ?
$$ Bonne journée.
Soit $f\in C^0(\mathbb R^2, \mathbb R)$, telle que $,\exists M>0, \forall (x,y)\in\mathbb R^2$ avec $f(x,y) \geq M$.
Soit $g \in C^0(\mathbb R,\mathbb R)$, existe-t-il une unique fonction $ h \in C^0(\mathbb R,\mathbb R)$ telle que : $$\forall a\in \mathbb R,\quad \int_0^{h(a)} f(a,x)\,\text{d}x=g(a)\ ?
$$ Bonne journée.
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Réponses
Tu connais déjà la réponse puisque tu as déjà posé la question.
Je ne pense pas que tu obtiendras une réponse très différente de celles données sur math.stackexchange, l'existence et l'unicité sont immédiates puisque $f\geq M$ et la continuité reposera toujours à un moment ou un autre sur le fait qu'une fonction continue est uniformément continue sur un compact.
Bon à part ça moi je dirais qu'il ne s'agit pas vraiment d'analyse fonctionnelle, plutôt analyse réelle. Mais bon il n'y a pas de définition officielle de ces termes donc ça reste juste mon avis.
@Tryss : le plus dur est de montrer que la fonction est continue.
Bonne journée.
> Soit $f\in C^0(\mathbb R^2, \mathbb R)$, tel que $\forall (x,y)\in\mathbb R^2,M>0 \in \mathbb R$
> avec $f(x,y) \geq M$.
Je ne comprends pas. Quelle quantification sur $M$ ? Quelqu'un peut-il m'expliquer ce que ça veut dire ?
Sauf erreur il me semble (mais je ne suis pas totalement sûr) qu'il existe une démonstration plus courte.
J'aimerais savoir si elle est facile à trouver, je laisse encore 1 semaine et ensuite j'essaierais de la plubier.
Bonne journée.
Je remonte la question, des fois que quelqu'un trouve, il reste 4 jours.
Bonne journée.
Bonne journée.
et vu que $$f(a_n,x) \text{ converge uniformément vers }f(a,x) \text{ sur tout compact}$$
On a le résultat.
Bravo Remarque.
En me servant du théorème des fonctions implicites appliquées à $$F(x,y)=\int_0^y f(x,t)\text{d}t-g(x)=0$$
edit 1 desolé je ne vais pas bien, je vois des x a la place des y
edit2: de toute façon il faut que F soit au moins $C^1$ dans un ouvert de $\R^2$ pour pouvoir appliquer le théorème des fonctions implicites, donc c'est raté
Oui, c'est pour cela que je ne suis pas sûr, mais c'est bizarre car les arguments qu'ont utilisés Mojojojo ou Remarque continuent de marcher ici, donc soit ce théorème existe, soit on peut le démontrer (au moins dans le cas $\R^2$).
$F : \R^2 \rightarrow \R$ continue tel que $F$ dérivable par rapport à la première composante, avec la dérivée continue et uniformément minorée par $M>0$.
Alors $\exists h$ fonction unique continue tel que : $$\forall a\in\R, F(h(a),a)=0$$
BRAVO, voilà un nouveau résultat qui peut-être bien utile, je ne suis pas sûr qu'il se généralise au dimension supérieur.
> Théorème des fonctions implicites
> $F : \R^2 \rightarrow \R$ continue tel que $F$
> dérivable par rapport à la première composante
> continue et uniformément minorée par $M>0$.
> Alors $\exists h$ fonction unique continue tel que
> : $$\forall a\in\R, F(h(a),a)=0$$
Ce n'est pas drôle d’énoncer des théorèmes faux !
prendre $F(x,y)=1 \forall x,y$
stp retire les noms de remarque et mojojo
Aprés si Mojojojo et Remarque ne le veulent pas j'enlève leurs noms, mais cela reste un nouveau résultat qui comme je l'ai dit peut-être bien utile.
@Gébrane : tu n'as pas remarqué que c'était juste une reformulation du résultat de départ (dont je n'avais pas de preuve (sûr)) jusqu'à ce que Mojojojo le prouve, et surtout Remarque m'en convainc par une preuve que j'ai comprise.
ça laisse à désirer. Pourquoi ne pas l’écrire sans ambiguïtés?!
2/ http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1408556,1411202#msg-1411202
de 2 choses l'une soit le théorème existait et ma preuve était correcte, soit il n'existait pas et on avait un nouveau résultat sur les fonctions implicites, mais comme l'a fait remarqué Mojojojo dés le début j'avais une preuve, mais je ne la comprennais pas, puis Remarque a posté une preuve que j'ai comprise, ce qui a fait que j'ai publié la preuve dont je n'étais pas sûr de la justesse (car je ne savais pas si ce résultat existait ou non).