Limites uniformes de polynômes

Que veux-tu exactement ? Etant donnée $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$, tu cherches une CNS du style :

Il existe une suite de polynômes telle que pour tout segment la suite des restrictions converge uniformément vers la restriction de $f$.

ssi

$f$ est de telle régularité.

?

Remarques :

1. Si ta condition est remplie, alors ta fonction est nécessairement continue.

2. Concernant tes "bons candidats", il y a justement un théorème de convergence uniforme sur tout segment dans l'intervalle ouvert de convergence. Voir un cours.

3. Il reste à voir s'il n'y aurait pas d'autres candidats moins réguliers. As-tu réfléchis à une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle qu'il n'existe pas de suite de polynômes telle que sur tout segment etc. ?

Je pense que la CNS est continue, tout simplement. Elle est nécessaire car la convergence uniforme préserve la continuité, donc ta fonction est continue sur tout segment, et finalement sur $\mathbb R$. Et réciproquement, une fonction continue sur $\mathbb R$ est limite uniforme de polynômes sur tout segment de $\mathbb R$ par le théorème de Weierstrass.