Valeur absolue

marc 1
marc 1
dans Analyse
Bonjour à tous
Actuellement, je m'intéresse à la valeur absolue. J'ai donc recherché des documents sur le net. J'en ai trouvé plusieurs.
Je comprends ce qui est écrit. Toutefois sur ces documents on fait référence à des propriétés et à leur démonstration. hors Or, d'un document à l'autre les propriétés varient (voir les liens des deux documents ci-dessous).
Je me demande donc s'il existe un nombre défini de propriétés avec leur démonstration ?

Si cela n'est pas le cas, peut-être alors, y a-t-il un certain [nombre] de propriétés principales avec lesquelles on peut démontrer les autres. Si c'est le cas pourriez-vous m'indiquer lesquelles sont les propriétés principales et la méthode pour en déduire les autres.

Peut-on démontrer une propriété de plusieurs façons ?
Si oui. Comment choisir celle que nous allons utiliser ?

Premier document https://www.sos-devoirs-corriges.com/images/cours-maths/lycee-1ere-S/fonction-valeur-absolue-cours.pdf
Deuxième document http://www.afkw.org/pythagore/concepts/valeurabsolue.pdf

Avec mes remerciements pour le temps que vous prendrez pour me répondre.

Réponses

  • poli12
    poli12
    Bonsoir
    Je dirais que ces deux documents concourent aux même propriété et théorème. Et bien vu su tu comprends bien comme tu le dis alors tu vas Savoie comment passer d'une propriété a une autre.
  • soland
    soland
    Dans ma boîte à outils, j'ai

    $|x|=\max(x,-x)$ et
    $x=|x|\,\text{signe} x$

    C'est sobre...
  • christophe c
    christophe c
    Il faut comprendre que dès que tu vas sur des sites + ou - commerciaux, ou si tu ouvres des manuels scolaires, pour diverses raisons, tu en auras toujours pour 150 pages (ou encore 30 pages par chapitre). Aucun éditeur ne prendrait un manuel de 5 ou 10 pages). Comme la totalité, tout compris du cours de maths de la 6e à la TS spé juin tient sur 10 pages (et encore, en délayant), tu auras forcément 95% de remplissage. Là, par exemple, pour affirmer et justifier, le tout tenant en 20 lignes quelques propriétés, le doc de sos occupe ... 22 pages. Mais tu ne peux guère y couper.
    Aide les autres comme toi-même car ils sont toi, ils sont vraiment toi
  • marc 1
    marc 1
    Bonjour
    Je suis tombé sur une démonstration sur un forum dont [que] je ne comprends pas.
    Pourriez-vous me l'expliquer ?
    Merci beaucoup.
    Voici le lien https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/100866-inegalite-triangulaire.html
    Bien à vous.
    marc.
  • Dom
    Dom
    Bonsoir,

    A quel endroit ça bloque ?
    Essaye de récrire l'essentiel de la preuve.
  • marc 1
    marc 1
    Le forum à priori n'accepte pas les symboles de valeur absolue, de racine carrée . Sûrement y-a-t-il un codage pour pouvoir le faire. Je me permets donc de mettre une photo79710
  • Dom
    Dom
    1)
    Je m'aperçois que cette discussion n'est pas du tout la suite de ce fil (mais ça fait un an que ce dernier n'est plus actif)

    2)
    Tu écris les expressions mathématiques en les entourant avec des dollars.
    racine carrée de 28 : \sqrt{28}
    valeur absolue de 7-x : |7-x|

    ça donne avec un dollar devant et un dollar derrière : $\sqrt{28}$ et $|7-x|$

    3)
    Je ne vais pas traîner mais il me semble que le lien que tu pointes propose autre chose que de comparer les carrés.
    Je vois d'abord ce que l'on appelle parfois "l'inégalité triangulaire renversée".
    A plus tard.
  • Dom
    Dom
    Soient $a$ et $b$ deux réels, démontrer que : $\Big| \sqrt{|a|}-\sqrt{|\,b \,|} \Big| \leq \sqrt{|a-b|}$

    Indication : savoir et utiliser que quels que soient les réels $x$ et $y$, $\Big| |x|-|y| \Big| \leq \Big| x+y\Big| $
  • marc 1
    marc 1
    Merci beaucoup :-)
  • marc 1
    marc 1
    Bonjour,

    J'aimerais revenir sur certains points afin que vous puissiez me les expliciter

    Grâce au conseil de @DOM j'ai réussi à comprendre l'explication que donnait un membre du forum https://forums.futura-sciences.com/mathematiques-superieur/100866-inegalite-triangulaire.html à un autre membre du forum.

    Il s'agissait de démontrer cette inégalité pour a et b réels

    $\Big| \sqrt{|a|}-\sqrt{|\,b \,|} \Big| \leq \sqrt{|a-b|}$

    Ma première intuition était d'utiliser que pour comparer des R+ il suffisait de comparer leurs carrés. Je ne suis parvenu à rien démontrer.

    Heureusement @DOM m'a donné un indication.

    Pourquoi ma première intuition était-elle fausse alors qu'elle respecte une propriété ?

    Quelles sont les connaissances qui m'ont manqué pour avoir la bonne intuition ?


    Ce topic a été ouvert il y a plus d'un an car je me demandais quel étaient les outils nécessaires pour travailler avec les valeurs absolues

    @soland écrivait:

    Dans ma boîte à outils, j'ai

    $|x|=\max(x,-x)$ et
    $x=|x|\,\text{signe} x$

    C'est sobre...




    Comment aurais-je pu démontrer l'inégalité triangulaire en question avec ces outils ?

    Depuis un an j'ai fait des exercices sur les valeurs absolues
    je connais aussi la démonstration qui permet de prouver la première inégalité triangulaire
    Je connais aussi la démonstration qui permet de prouver la deuxième inégalité triangulaire appelée aussi inégalité triangulaire inversée

    Par contre je ne connaissais pas cette inégalité triangulaire, ni le chemin qui permettait de la prouver

    $\Big| \sqrt{|a|}-\sqrt{|\,b \,|} \Big| \leq \sqrt{|a-b|}$

    Je me pose donc une question, existe-il d'autres inégalités triangulaires dans R que l'on peut démontrer. Si oui lesquelles ?

    J'ai cherché sur le net et je n'ai rien trouvé en ce sens, ni exercices ni démonstrations. Comment cela se fait-il ?

    La démonstration de cette inégalité est de quel niveau scolaire ?

    $\Big| \sqrt{|a|}-\sqrt{|\,b \,|} \Big| \leq \sqrt{|a-b|}$


    Merci pour le temps que vous prendrez pour me répondre car même si certaines questions vous semblent idiotes, pour moi elles sont importantes

    Amicalement

    marc
  • marc 1
    marc 1
    Bonjour,


    Je n'ai pas reçu de réponse à mon dernier post, je me permets donc de faire un petit up

    Si toutefois je ne suis pas clair dans mes questions merci de me signaler quels sont les points qui vous posent problème. Je me ferais un plaisir de les éclaircir car elles me tiennent particulièrement à cœur.


    Amicalement

    marc
  • Math Coss
    Math Coss
    Soland exagère un peu, il connaît aussi l'inégalité triangulaire.

    Essayons de la retrouver avec les maigres renseignements qu'il nous laisse utiliser. Si $a$ et $b$ sont de même signe $\newcommand\eps\varepsilon\eps$, alors $a+b=|a|\eps+|b|\eps=\bigl(|a|+|b|\bigr)\eps$ donc $|a+b|=|a|+|b|$ et en particulier, $|a+b|\le|a|+|b|$. Sinon, notons $\eps$ le signe de $a$, alors $a+b=|a|\eps-|b|\eps=\bigl(|a|-|b|\bigr)\eps$. Si $|a|\ge|b|$, alors $|a+b|=|a|-|b|\le |a|+|b|$ (car $2|b|\ge0$) ; sinon, $a+b=(-\eps)\bigl(|b|-|a|\bigr)$ donc $|a+b|=|b|-|a|\le|b|+|a|$.

    Appliquant cela à :
    • $a'=a$ et $b'=-b$, il vient $|a-b|\le |a|+|b|$ (car $|-b|=|b|$) ;
    • $a'=b$ et $b'=a-b$ et $b'=b$, on trouve : $|a|=|a'+b'|\le|a-b|+|b|$ ;
    • $a'=a$ et $b'=-a+b$, on trouve : $|b|=|a'+b'|\le|a|+|a-b|$.
    Des deux derniers points on tire que $|a|-|b|\le|a-b|$ et $-\bigl(|a|-|b|\bigr)\le|a-b|$, puis $\bigl||a|-|b|\bigr|\le|a-b|$.

    NB : Ma boîte à outils contient aussi $|x|\le y$ SSI $-y\le x\le y$, ce qui résulte de celle de Soland.

    L'inégalité avec les racines carrées n'est pas une « inégalité triangulaire », elle exprime quelque chose à propos de la racine carrée – c'est une conséquence de la convexité, le fait que la courbe « regarde vers le bas ». Je ne sais pas attribuer un niveau à cette inégalité, il s'agit essentiellement de factoriser $x-y=\bigl(\sqrt{x}-\sqrt{y}\bigr)\bigl(\sqrt{x}+\sqrt{y}\bigr)$ et de faire des manipulations simples d'inégalités. Avec guidage, pourquoi ne pourrait-on pas la faire au lycée ? Mais pourquoi voudrait-on la faire ? Ça me paraît un exercice raisonnable sans guidage pour les calculs algébriques et inégalités en début de math. sup. / L1.

    Edit : correction de l'erreur signalée ci-dessous par Marc 1.
  • ev
    ev
    Christophe. a écrit:
    Comme la totalité, tout compris du cours de maths de la 6e à la TS spé juin tient sur 10 pages (et encore, en délayant)

    J'ai déjà entendu cette chanson. J'attends toujours les 10 pages.

    Amicalement,

    e.v.
    Personne n'a raison contre un enfant qui pleure.


  • marc 1
    marc 1
    Bonjour,

    alors $|a+b|=|a|-|b|\le |a|+2|b|$


    Cela fait huit jours que je me creuse les méninges mais je ne parviens pas à comprendre ce que vient faire dans le développement le 2 .

    Pourriez-vous me l'expliquer ?

    Merci


    Amicalement

    marc
  • Math Coss
    Math Coss
    Ah ! Si c'est une référence à ce message, en effet, il ne devrait pas y avoir de $2$ : on a $|a|-|b|\le |a|+|b|$. Peut-être que je pensais à la justification – à savoir : $2|b|\ge0$ – au moment d'écrire $|b|$, d'où la présence inopportune du $2$ que je corrige tout de suite.
  • marc 1
    marc 1
    Merci beaucoup Math Coss


    Amicalement

    marc
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