Composition non entière et régulière.

Bonjour,

Soient $a,b \in \R_+^*$.
Déterminer une fonction $C^\infty$ de $\R^2$ dans $\R$ tel que :

$\forall x,q,r \in \R, f(1,x)=ax+b \text{ et } f(q,f(r,x))=f(q+r,x)$

Bonne journée.

Si $a\neq 1$ : $$(q,r)\longmapsto a^qx+ \frac{a^q-1}{a-1}\,b\;.$$
Si $a=1$, on peut passer à la limite dans la formule ci-dessus ...

Bravo.

Ce qui est étrange c'est qu'il n'y a pas une seule façon de le faire, mais celle là me semble la plus économique en symbôle.

Bonne journée.

Sinon avec la solution de GaBuZoMeu on ne comprend pas, d'où elle vient.

en fait on se sert du point fixe pour construire la solution : $$f(x,y)=a^x(y-x_0)+x_0$$ avec $x_0=ax_0+b$



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a trois années et a été effectuée par pourexemple.

Il manque une condition à imposer à $f$ pour que la solution "canonique" proposée par GaBuZoMeu soit la seule.

Quelqu'un voit il une telle condition, peut-être imposer que la fonction soit DSE ?

Merci.

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