Problème de convergence de série
Bonjour,
Je cherche à montrer l'équivalence entre les propositions suivantes :
Étant donnée une suite $(x_n)$ de réels de $]0,1[$,
(I) Pour toute série a termes positifs convergente $\sum a_n$, la serie $\sum a_n^{x_n}$ converge.
(II) il existe un réel $m>1$ tel que la série $\sum m^{\frac{1}{x_n-1}}$ converge.
Je ne parviens pas à aboutir au résultat bien qu'il me semble clair que la seule valeur d'adhérence de $(x_n)$ doit être $1$. Auriez vous un piste ?
Merci et bonne journée !
Je cherche à montrer l'équivalence entre les propositions suivantes :
Étant donnée une suite $(x_n)$ de réels de $]0,1[$,
(I) Pour toute série a termes positifs convergente $\sum a_n$, la serie $\sum a_n^{x_n}$ converge.
(II) il existe un réel $m>1$ tel que la série $\sum m^{\frac{1}{x_n-1}}$ converge.
Je ne parviens pas à aboutir au résultat bien qu'il me semble clair que la seule valeur d'adhérence de $(x_n)$ doit être $1$. Auriez vous un piste ?
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Réponses
J'avais essayé de le faire, mais sans réussite.
Si on suppose (I), en exploitant des séries de Riemann, on constate que $(x_n)$ converge vers le réel $1$. Il me semble même qu'en exploitant les séries géométriques, on trouve $x_n=1 + o(1/n)$, mais ensuite je n'arrive pas à aboutir à (II).
Réciproquement, si l'on suppose (II), on aboutit aussi facilement à $(x_n)$ converge vers $1$, mais je n'arrive pas à faire le lien avec (I).
Oui c'est effectivement un oral de l'ENS de Lyon ! Je crois que la difficulté majeure est effectivement de montrer que $(x_n)$ converge suffisamment vite vers 1 ! La vitesse de convergence en $o(1/n)$ me paraît suffisante, je vais essayer de l'écrire !