Distance et limite

Valmont · February 2017

Bonjour à tous,
Est il possible de définir sur Rn une distance admettant une limite ? C'est à dire une distance tel que Rn soit contenu dans une boule strictement inferieur à la valeur de la limite.
Quelque chose comme le contraire d'un espace hyperbolique.....
J'ai eut beau chercher sur le net je n'ai rien trouvé qui ressemble à ça mais je n'ai pas trouvé que ce soit impossible non plus.

Si oui est ce que quelqu'un aurait un exemple par ex sur R2 (ou mieux une généralisation sur Rn) ?

Merci !!

YvesM · February 2017

Bonjour,

Une idée à vérifier : sur $x \in \R$, $d(x) = 1-e^{-|x|}.$ La forme $d$ est positive ; on a $d(x) = 0 \implies x=0$ ; on a, pour tout $x,y \in \R$, $d(x+y) = 1-e^{-|x+y|} \leq 1-e^{-|x|} e^{-|y|} \leq (1-e^{-|x|})+(1-e^{-|y|}) = d(x)+d(y).$ On doit pouvoir généraliser à une dimension quelconque.

J'ai oublié la définition d'une norme :)o: il faut l'homogénéité d'ordre $1$ : $d(ax) = |a| d(x)$ qui n'est pas vérifié ci-dessus.

gebrane · February 2017

@YvesM
Ton d n'est pas une norme puisque $d(\lambda x)\ne |\lambda| d(x)$
en plus cette phrase ""contenu dans une boule strictement inferieur à la valeur de la limite. "" n'a pas de sens

YvesM · February 2017

Bonjour,

Cette propriété d'homogénéité d'une norme me semble montrer que c'est impossible : on a, pour tout vecteur $x$, et pour tout $a$ réel, $d(ax) = |a|d(x)$ et donc lorsque $|a|$ tend vers l'infini : $d(ax)$ tend vers l'infini, et ne peut donc pas être finie, non ?

gebrane · February 2017

Je ne sais ce qu'il cherche! s'il veut plonger $\R^n$ dans une boule de rayon fini c'est totalement absurde

Magnolia · February 2017

Bonjour

La question posée ne parle que de distance et non de norme. Il me semble que l'exemple le plus simple sur n'importe quel ensemble $X$ ayant au moins deux éléments est la distance discrète...

$d(x,x)=0$ et $d(x,y)=1$ si $x\neq y$.

Valmont · February 2017

gebrane0 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1413084,1413100#msg-1413100
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

C'est exactement cela que cherche à faire maintenant si c'est absurde expliquez pourquoi (mes années de fac et d'algèbres sont loin).
La définition d'une distance doit respecter la symétrie, l’inégalité triangulaire, et la séparation

Je ne vois rien là qui soit a priori contradictoire avec ce que j'essaye de faire.

Certes cette distance n'est pas une norme mais je n'ai pas dit que je voulais une norme.
Cordialement,

gebrane · February 2017

si tu plonges $\R^n$ dans une boule de rayon fini,tu vas demontrer que la mesure de $\R^n$ est finie

Valmont · February 2017

Magnolia écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1413084,1413124#msg-1413124
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

C'est exactement qq [quelque] chose que je cherche mais je préférais quelque chose de continue. Je regarde du coté de la fonction donnée plus haut mais je ne suis plus aussi agile qu'avant ...

MrJ · February 2017

Sur $\R$, il y a l'exemple classique $d(x,y)=|\arctan(x)-\arctan(y)|$. De plus cette métrique induit la topologie usuelle sur $\R$. Il est facile d'utiliser cette métrique pour en déduire une sur $\R^n$ qui répond à la question.

Valmont · February 2017

gebrane0 écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1413084,1413132#msg-1413132
[Inutile de recopier un message présent sur le forum. Un lien suffit. AD]

C'est peut -être cela que je cherche à faire. Si je change la distance pourquoi n'aurais-je pas une mesure de Rⁿ qui soit finie ?
Merci.

Valmont · February 2017

MrJ écrivait : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1413084,1413146#msg-1413146
[Inutile de recopier l'avant dernier message. Un lien suffit. AD]

Je crois que c'est exactement cela que je cherche, je vérifie mais je crois que c'est ok !!
Merci à tous pour votre expertise, votre agilité et votre disponibilité !!!

Distance et limite

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