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Analyse complexe

Envoyé par poli12 
Analyse complexe
il y a deux années
Bonjour
Svp j'ai cette propriété arg(z)+arg(w)=arg(zw).
Moi, je montre plutôt que Arg(z)+Arg(w)=Arg(zw).
Mais ce dernier est faux d'après mon professeur. Svp éclairez-moi.

Nul n'a le monopole du savoir.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par jacquot.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
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Citation
poli12
Svp j'ai cette propriété arg(z)+arg(w)=arg(z+w).
Je montre plutot que Arg(z)+Arg(w)=Arg(z+w). Mais ce dernier est faux.

Y'a une différence que mes yeux n'ont pas vu (hormis le arg en Arg) ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par skyffer3.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
avatar
Bonjour,
Tu voulais dire
$Arg(z)+Arg(w)=Arg(z.w)$ modulo $(2\pi)$

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Oui il m'est donne t'a formule gebrane0
Mais moi je montre plutot cela sans la congruence.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
avatar
Donne ta preuve

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
J'ai cette propriété arg(z)+arg(w)=arg(zw). Moi
Je montre plutot que Arg(z)+Arg(w)=Arg(zw). Mais ce dernier est faux.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par poli12.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Posons $|z|=r$ ;Arg(z)=a et $|w|=s$ ; Arg(w)=b alors
Z=rexp(ia) et w=sexp(ib) et
zw=rsexp(i(a+b)) et je conclus.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
avatar
Tu conclus quoi?

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Arg(zw)=a+b=Arg(z)+Arg(w).
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
avatar
Ok, je copie aussi ta preuve
Posons |z|=r ;Arg(z)=a et |w|=s ; Arg(w)=b alors
Z=rexp(ia) et w=sexp(ib) et
zw=rsexp(i(a+b)) donc zw=rsexp(i(a+b+2k$\pi$)) et je conclus aussi que Arg(zw)=a+b+2k$\pi$

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Merci.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Mais ma véritable question est pourquoi arg(zw) est different de $arg(z)+arg(w)+2k\pi$ k dans Z.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
avatar
il faut voir la définition de ton prof sur la notion "argument "

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
$Arg(z)$ est un angle compris entre $ [-\pi,\pi]$ et $arg(z)=Arg(z)+2k\pi$.



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par michael.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
[Partie de message supprimée suite à la correction du post auquel il faisait référence]

Plus sérieusement, cette "définition" de $arg(z)$ n'a aucun sens. C'est quoi $k$ ? Il est fixé ? Ou alors c'est une classe d'équivalence ?



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par michael.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
En général, on appelle un argument de $z$ un nombre complexe EDIT : réel (merci GBZM) $\theta$ tel que $z = |z| \mathrm{e}^{i\theta}$ ($z \not = 0$). Si $\theta$ est un argument de $z$, il est évident que les $\theta + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb Z$, sont tous des arguments de $z$. Après, on définit $Arg(z)$ comme une sorte de représentant canonique de ces arguments : c'est l'unique réel dans $]- \pi, \pi]$ tel que pour tout argument $\theta$, il existe $k \in \mathbb Z$ tel que $\theta + 2k\pi = Arg(z)$.



Edité 3 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par Philippe Malot.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Je suis d'accord Poirot mais je me demande pourquon a pas aussi. $arg(zw)=arg(z)+arg(w)+2k\pi$. $k\in Z$. Merde Poirot moi j'omets car je pensais que c'etait trivial de le savoir.



Edité 2 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par poli12.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
avatar
salut

ton prof àa raison

la somme de tes deux arguments principaux n'est pas forcément un argument principal

qu'est qui te dit que $Arg(z)+Arg(w)\in ]-\pi,\pi]$

par contre tu vérifiera toujours ce qu'il te dit à savoir

arg(z)+arg(w)=arg(zw)

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]



Edité 1 fois. La dernière correction date de il y a deux années et a été effectuée par fluorhydrique.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Ce que tu demandes ne veut rien dire si tu ne quantifies pas ton $k$.

En attendant, si $z = |z| \mathrm{e}^{i\theta_1}$ et $\omega = |\omega| \mathrm{e}^{i\theta_2}$, sais-tu ce que vaut $z \omega$ ?
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
avatar
Comme a expliqué Poirot note ceci

$-\pi < Arg(z) \leq \pi $
et

$\arg(z) = Arg(z) + 2 \pi k$ $\forall k \in \mathbb{Z}$

edit un exercice pour toi
resoudre $$\operatorname{Arg}(z-2) - \operatorname{Arg}(z+2) = \frac{\pi}{6}$$

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gebrane0.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
avatar
...pour compléter $Arg(z)$ est une application de $\mathbb {C}^* $ vers $]-\pi,\pi]$

alors son domaine d'application est $]-\pi,\pi]$

je trouve dommage que tu écrive f(z)+f(w)=f(zw)

sans te soucier des domaines de définition et d'application de tes fonctions f

un jour ça te jouera des tours

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Bonjour.

On part de $(k_1 \tau_1). (k_2 \tau_2)=(k_1 k_2)(\tau_1 \tau_2)$: les modules, c'est à dire les $k$ réels positifs, se multiplient entre eux et les turns, c'est à dire les complexes $\tau$ de module 1, se multiplient entre eux. Cela, c'est sûr et certain, et facile à comprendre.

Ensuite de quoi, il y a la facheuse habitude d'écrire $\tau$ autrement que $\tau$, c'est à dire de l'écrire $\tau=\exp(I \theta)$ y compris (et surtout) lorsque $\theta$ ne sert à rien. Lorsque $\tau= (3+4I)/5$, eh bien $\tau ^2=(-7+24I)/25$ sans qu'il y ait besoin de jouer au $\theta$.

Lorsque l'on veut néanmoins jouer au $\theta$ , il y a deux possibilités. La première est $Arg$. La signature de cette fonction est "turn donne nombre". C'est ce que répond une table trigonométrique (ou une calculatrice). Et alors, la formule $Arg(xy)=Arg(x)+Arg(y)$ est certainement fausse. Elle donnerait $180°=Arg(-1)=Arg((-1)\times (-1 \times (-1))=3\times 180°$

L'autre possibilité est de définir $arg$ par la propriété $arg(xy)=arg(x)+arg(y)$. Mais alors $arg(x)$ n'est plus un nombre. Il faut savoir ce que l'on veut.

Cordialement, Pierre.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
avatar
@Poli
Je me rends compte que l'exo que je t'es donné n'est pas facile!
mais très instructif [www.les-mathematiques.net]

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Ce n'est vraiment pas facile je me suis arrêté sur $arg(\frac{z-2}{z+2})=arg(\frac{\pi}{6})$. Ceci en utilisant le fait que $arg(z)=Arg(z)+2k\pi$ avec $k\in Z$



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par poli12.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
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Il y a des cas à discuter

Soit $z=x+iy$

si $x>0$ alors $Arg(z)=arctg(\frac yx)$
si $x<0$ $Arg(z)= \begin{cases} \arctan \frac y{x}+\pi &\mbox{if } y\ge0 \\
\arctan \frac y{x}-\pi & \mbox{if } y<0\end{cases}$
si $x=0$ et $y\neq 0$ alors $Arg(z)=sign (y).\frac \pi 2 $

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Tu demandes de trouver $ Arg(z)$ ou $z$.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
avatar
on cherche z

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Bonjour,

@gebrane0. On a $Arg(z)=2\arctan \left(\frac{Im(z)}{|z|+Re(z)}\right)$. Cette formule a l'immense l'avantage de discuter toute seule: lorsque $z$ est un réel négatif (0 compris), cela plante. Et c'est normal. Si l'on a décidé de faire une coupure dans le plan, eh bien, c'est coupé.

Cordialement, Pierre.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Gebrane pourquoi donc trouver $ Arg(z) $ tout court
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
avatar
@Poli
Il est difficile de résoudre l' equation avec ces Arg, je préfére transformer l’équation sous forme de acrtg
@
la formule que tu cites m'est inconnue . Apres, tu veux dire que les formules que j'ai donné sont fausses?

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par gebrane0.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Loin de cela. Je dis plutôt qu'en faisant ainsi tu ne me donne pas $z$ mais $Arg(z)$.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par poli12.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
avatar
Je t'ai proposé un exercice avec une indication, le but c'est de déterminer les z solutions de l’équation. Il y a des cas à discuter
Par exemple si $x>2$, l’équation est équivalente à
$$arctg(\frac y{x-2})+arctg(\frac y{x+2})=\frac \pi 6$$
A résoudre!!

La méthode que je donne est surement n'est pas la meilleure.
Peut être qu'une personne intéressé, nous expliquera une méthode plus simple

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Un monument à la formule inconnue :


Re: Analyse complexe.
il y a deux années
avatar
Je suis complètement émerveillé par ce dessin
Merci Gabu

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
@gebrane0 ce n'est en fait rien d'autre que la paramétrisation du cercle par des fractions rationnelles, un classique.
On peut le faire avec d'autres courbes.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
avatar
@soleil_vert
Je serai très reconnaissant si tu partages avec nous ton savoir sur ce problème classique, Je rappelle pour les visiteurs, il s'agit de résoudre l’équation
$$\operatorname{Arg}(z-2) - \operatorname{Arg}(z+2) = \frac{\pi}{6}$$

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Utilisateur anonyme
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
quelque part, on a $\dfrac{z-2}{z+2} = \rho e^{i\frac{\pi}{6}}$ avec $\rho > 0$ ... d'où $z = \dfrac{2(1-\rho^2+i\rho)}{1-\sqrt{3}\rho+\rho^2}$ ...

je pense que @Chaurien (ou éventuellement un géomètre) passerait dans le secteur, et évoquerait (de souvenir) la terminologie d'arc capable ...
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Bonsoir
Quand on demande de décrire l'ensemble $\{z\in C \mid 0<Im(z)<2 \}$ Qu'est-ce qu'il s'agit en fait de faire.



Edité 1 fois. La derni&egrave;re correction date de il y a deux ann&eacute;es et a &eacute;t&eacute; effectu&eacute;e par AD.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Revenant à la question initiale, pourrait-on avoir une définition de arg et de Arg ?
Merci.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
avatar
bonjour Chaurien

ici son prof lui a dit que Arg est l'argument principal

(c'est pour cette raison que son prof a raison )

->
Citation

j'ai cette propriété arg(z)+arg(w)=arg(zw). Moi
Je montre plutot que Arg(z)+Arg(w)=Arg(zw). Mais ce dernier est faux d'apres mon professeur

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Exactement Arg est une mesure principale.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Que vaut $\mathrm{Arg}(-1+i)$ ? $\mathrm{Arg}(i)$ ? $\mathrm{Arg}{(i(-1+i))}$ ?
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Principal : dans $[0, 2 \pi[$ ?
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
avatar
non

principal c'est dans $]-\pi,\pi]$

tiens c'est marrant, je vois que ça cogite (et que demande le peuple?)[www.youtube.com]
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Leurs Arg sont respectivements $ \frac{3\pi}{4}$
$ \frac{\pi}{2}$ et $ \frac{-3\pi}{4}$
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Conclusion ?
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
avatar
Apres ta conclusion
exercice demontrer que
$$Arg (z_1z_2)=Arg (z_1)+Arg(z_2)\iff Arg (z_1)+ Arg(z_2)\in ]-\pi,\pi]$$

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[Le meilleur moyen de fuir le monde est de pénétrer les mathématiques ]
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Conclusion:si $Arg(z)+Arg(w)$ n'est pas dans $]-\pi,\pi]$ alors $Arg(z)+Arg(w)$ est différent de $Arg(zw)$.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
Et ton prof avait bien raison.
Re: Analyse complexe.
il y a deux années
En utilisant la contraposée de cette conclusion on a lle sens allé de ta démonstration gebrane. Il me reste donc le sens retour.
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