Bonjour
Svp j'ai cette propriété arg(z)+arg(w)=arg(zw).
Moi, je montre plutôt que Arg(z)+Arg(w)=Arg(zw).
Mais ce dernier est faux d'après mon professeur. Svp éclairez-moi.
Ok, je copie aussi ta preuve
Posons |z|=r ;Arg(z)=a et |w|=s ; Arg(w)=b alors
Z=rexp(ia) et w=sexp(ib) et
zw=rsexp(i(a+b)) donc zw=rsexp(i(a+b+2k$\pi$)) et je conclus aussi que Arg(zw)=a+b+2k$\pi$
En général, on appelle un argument de $z$ un nombre complexe EDIT : réel (merci GBZM) $\theta$ tel que $z = |z| \mathrm{e}^{i\theta}$ ($z \not = 0$). Si $\theta$ est un argument de $z$, il est évident que les $\theta + 2k\pi$ avec $k \in \mathbb Z$, sont tous des arguments de $z$. Après, on définit $Arg(z)$ comme une sorte de représentant canonique de ces arguments : c'est l'unique réel dans $]- \pi, \pi]$ tel que pour tout argument $\theta$, il existe $k \in \mathbb Z$ tel que $\theta + 2k\pi = Arg(z)$.
Je suis d'accord Poirot mais je me demande pourquon a pas aussi. $arg(zw)=arg(z)+arg(w)+2k\pi$. $k\in Z$. Merde Poirot moi j'omets car je pensais que c'etait trivial de le savoir.
On part de $(k_1 \tau_1). (k_2 \tau_2)=(k_1 k_2)(\tau_1 \tau_2)$: les modules, c'est à dire les $k$ réels positifs, se multiplient entre eux et les turns, c'est à dire les complexes $\tau$ de module 1, se multiplient entre eux. Cela, c'est sûr et certain, et facile à comprendre.
Ensuite de quoi, il y a la facheuse habitude d'écrire $\tau$ autrement que $\tau$, c'est à dire de l'écrire $\tau=\exp(I \theta)$ y compris (et surtout) lorsque $\theta$ ne sert à rien. Lorsque $\tau= (3+4I)/5$, eh bien $\tau ^2=(-7+24I)/25$ sans qu'il y ait besoin de jouer au $\theta$.
Lorsque l'on veut néanmoins jouer au $\theta$ , il y a deux possibilités. La première est $Arg$. La signature de cette fonction est "turn donne nombre". C'est ce que répond une table trigonométrique (ou une calculatrice). Et alors, la formule $Arg(xy)=Arg(x)+Arg(y)$ est certainement fausse. Elle donnerait $180°=Arg(-1)=Arg((-1)\times (-1 \times (-1))=3\times 180°$
L'autre possibilité est de définir $arg$ par la propriété $arg(xy)=arg(x)+arg(y)$. Mais alors $arg(x)$ n'est plus un nombre. Il faut savoir ce que l'on veut.
Ce n'est vraiment pas facile je me suis arrêté sur $arg(\frac{z-2}{z+2})=arg(\frac{\pi}{6})$. Ceci en utilisant le fait que $arg(z)=Arg(z)+2k\pi$ avec $k\in Z$
@gebrane0. On a $Arg(z)=2\arctan \left(\frac{Im(z)}{|z|+Re(z)}\right)$. Cette formule a l'immense l'avantage de discuter toute seule: lorsque $z$ est un réel négatif (0 compris), cela plante. Et c'est normal. Si l'on a décidé de faire une coupure dans le plan, eh bien, c'est coupé.
Je t'ai proposé un exercice avec une indication, le but c'est de déterminer les z solutions de l’équation. Il y a des cas à discuter
Par exemple si $x>2$, l’équation est équivalente à
$$arctg(\frac y{x-2})+arctg(\frac y{x+2})=\frac \pi 6$$
A résoudre!!
La méthode que je donne est surement n'est pas la meilleure.
Peut être qu'une personne intéressé, nous expliquera une méthode plus simple
@gebrane0 ce n'est en fait rien d'autre que la paramétrisation du cercle par des fractions rationnelles, un classique.
On peut le faire avec d'autres courbes.
@soleil_vert
Je serai très reconnaissant si tu partages avec nous ton savoir sur ce problème classique, Je rappelle pour les visiteurs, il s'agit de résoudre l’équation
$$\operatorname{Arg}(z-2) - \operatorname{Arg}(z+2) = \frac{\pi}{6}$$
Réponses
Y'a une différence que mes yeux n'ont pas vu (hormis le arg en Arg) ?
Tu voulais dire
$Arg(z)+Arg(w)=Arg(z.w)$ modulo $(2\pi)$
Mais moi je montre plutot cela sans la congruence.
Je montre plutot que Arg(z)+Arg(w)=Arg(zw). Mais ce dernier est faux.
Z=rexp(ia) et w=sexp(ib) et
zw=rsexp(i(a+b)) et je conclus.
Posons |z|=r ;Arg(z)=a et |w|=s ; Arg(w)=b alors
Z=rexp(ia) et w=sexp(ib) et
zw=rsexp(i(a+b)) donc zw=rsexp(i(a+b+2k$\pi$)) et je conclus aussi que Arg(zw)=a+b+2k$\pi$
Plus sérieusement, cette "définition" de $arg(z)$ n'a aucun sens. C'est quoi $k$ ? Il est fixé ? Ou alors c'est une classe d'équivalence ?
ton prof àa raison
la somme de tes deux arguments principaux n'est pas forcément un argument principal
qu'est qui te dit que $Arg(z)+Arg(w)\in ]-\pi,\pi]$
par contre tu vérifiera toujours ce qu'il te dit à savoir
arg(z)+arg(w)=arg(zw)
En attendant, si $z = |z| \mathrm{e}^{i\theta_1}$ et $\omega = |\omega| \mathrm{e}^{i\theta_2}$, sais-tu ce que vaut $z \omega$ ?
$-\pi < Arg(z) \leq \pi $
et
$\arg(z) = Arg(z) + 2 \pi k$ $\forall k \in \mathbb{Z}$
edit un exercice pour toi
resoudre $$\operatorname{Arg}(z-2) - \operatorname{Arg}(z+2) = \frac{\pi}{6}$$
alors son domaine d'application est $]-\pi,\pi]$
je trouve dommage que tu écrive f(z)+f(w)=f(zw)
sans te soucier des domaines de définition et d'application de tes fonctions f
un jour ça te jouera des tours
On part de $(k_1 \tau_1). (k_2 \tau_2)=(k_1 k_2)(\tau_1 \tau_2)$: les modules, c'est à dire les $k$ réels positifs, se multiplient entre eux et les turns, c'est à dire les complexes $\tau$ de module 1, se multiplient entre eux. Cela, c'est sûr et certain, et facile à comprendre.
Ensuite de quoi, il y a la facheuse habitude d'écrire $\tau$ autrement que $\tau$, c'est à dire de l'écrire $\tau=\exp(I \theta)$ y compris (et surtout) lorsque $\theta$ ne sert à rien. Lorsque $\tau= (3+4I)/5$, eh bien $\tau ^2=(-7+24I)/25$ sans qu'il y ait besoin de jouer au $\theta$.
Lorsque l'on veut néanmoins jouer au $\theta$ , il y a deux possibilités. La première est $Arg$. La signature de cette fonction est "turn donne nombre". C'est ce que répond une table trigonométrique (ou une calculatrice). Et alors, la formule $Arg(xy)=Arg(x)+Arg(y)$ est certainement fausse. Elle donnerait $180°=Arg(-1)=Arg((-1)\times (-1 \times (-1))=3\times 180°$
L'autre possibilité est de définir $arg$ par la propriété $arg(xy)=arg(x)+arg(y)$. Mais alors $arg(x)$ n'est plus un nombre. Il faut savoir ce que l'on veut.
Cordialement, Pierre.
Je me rends compte que l'exo que je t'es donné n'est pas facile!
mais très instructif http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?4,1415800,1415962#msg-1415962
Soit $z=x+iy$
si $x>0$ alors $Arg(z)=arctg(\frac yx)$
si $x<0$ $Arg(z)= \begin{cases} \arctan \frac y{x}+\pi &\mbox{if } y\ge0 \\
\arctan \frac y{x}-\pi & \mbox{if } y<0\end{cases}$
si $x=0$ et $y\neq 0$ alors $Arg(z)=sign (y).\frac \pi 2 $
@gebrane0. On a $Arg(z)=2\arctan \left(\frac{Im(z)}{|z|+Re(z)}\right)$. Cette formule a l'immense l'avantage de discuter toute seule: lorsque $z$ est un réel négatif (0 compris), cela plante. Et c'est normal. Si l'on a décidé de faire une coupure dans le plan, eh bien, c'est coupé.
Cordialement, Pierre.
Il est difficile de résoudre l' equation avec ces Arg, je préfére transformer l’équation sous forme de acrtg
la formule que tu cites m'est inconnue . Apres, tu veux dire que les formules que j'ai donné sont fausses?
Par exemple si $x>2$, l’équation est équivalente à
$$arctg(\frac y{x-2})+arctg(\frac y{x+2})=\frac \pi 6$$
A résoudre!!
La méthode que je donne est surement n'est pas la meilleure.
Peut être qu'une personne intéressé, nous expliquera une méthode plus simple
Merci Gabu
On peut le faire avec d'autres courbes.
Je serai très reconnaissant si tu partages avec nous ton savoir sur ce problème classique, Je rappelle pour les visiteurs, il s'agit de résoudre l’équation
$$\operatorname{Arg}(z-2) - \operatorname{Arg}(z+2) = \frac{\pi}{6}$$
je pense que @Chaurien (ou éventuellement un géomètre) passerait dans le secteur, et évoquerait (de souvenir) la terminologie d'arc capable ...
Quand on demande de décrire l'ensemble $\{z\in C \mid 0<Im(z)<2 \}$ Qu'est-ce qu'il s'agit en fait de faire.
Merci.
ici son prof lui a dit que Arg est l'argument principal
(c'est pour cette raison que son prof a raison )
->
principal c'est dans $]-\pi,\pi]$
$ \frac{\pi}{2}$ et $ \frac{-3\pi}{4}$
exercice demontrer que
$$Arg (z_1z_2)=Arg (z_1)+Arg(z_2)\iff Arg (z_1)+ Arg(z_2)\in ]-\pi,\pi]$$
$Arg(z)+Arg(w)$ est un angle principal.