intégrale
Bonjour j'ai un exo sur les intégrales où je suis bloqué à la question [2]b.
J'aboutis pour cette question à : $I_n + I_{n+1} = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^x (e^n + e^{nx})}{1 + e^x}\,\mathrm d x$.
Mais je ne sais pas comment primitiver cette fonction... (si elle est bonne déjà ).
Aidez moi svp.
J'aboutis pour cette question à : $I_n + I_{n+1} = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^x (e^n + e^{nx})}{1 + e^x}\,\mathrm d x$.
Mais je ne sais pas comment primitiver cette fonction... (si elle est bonne déjà ).
Aidez moi svp.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Réponses
Tu devrais pouvoir t'en sortir à partir de cette remarque.
Il serait temps que j'apprenne le Latex...
[À ton service. skyffer3]
Et je te dis que tu peux factoriser le numérateur par $e^{nx}$, ce qui te donne $e^{nx}(1 + e^x)$ et donc tu peux simplifier ce qu'il y a dans ton intégrale.
L'expression que tu avais obtenue dans ton premier post est fausse !
$I_n =\displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^{nx}}{1 + e^x}\,\mathrm dx$
$I_{n+1} = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^{(n+1)x}}{1+ e^x}\,\mathrm dx$
Donc la somme des deux est $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^{nx} + e^{(n+1)x}}{1+ e^x}\, \mathrm d x$.
As-tu fait les questions précédentes ? Si oui j'ai du mal à voir pourquoi tu bloques, avec ces questions tu devrais voir assez bien ce qui [se] passe lors de chaque calcul.
Sais-tu donner une primitive de la fonction $\dfrac{f^\prime}{f}$ sur un intervalle $I$ où $f$ est une fonction qui ne s'annule pas et est dérivable?
PS:
Je ne suis même pas sûr que ce résultat soit utilisé dans la question 2) :-D
C'est bon ?
Tu pourrais me donner un petit coup de pouce s.t.p
Pour la c, commence par étudier la fonction $f$ qui à $x$ associe $\dfrac{1}{1+ e^x}$ sur $[0,1]$, tu pourras en déduire un encadrement de $f$ sur cet intervalle et tu seras tout proche d'obtenir l'inégalité demandée.
En étudiant $\dfrac{1}{1+ e^x}$ on a juste à dériver (car c'est bien continue/dérivable sur $\R$) pour avoir les variations sur $[0,1]$ et en déduire un encadrement sur cet intervalle.
Puis il suffit de multiplier par $e^{nx}$ (qui est bien supérieur à $1$ pour tout réel dans $[0,1]$) pour avoir l'encadrement demandé par la question !
Merci beaucoup pour cette explication !
Je dois calculer $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^{nx}}{ 1+x}\,\mathrm dx$ et $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^{nx}}{2}\,\mathrm dx$ ?
Alors je trouve à gauche : $\dfrac{e^x - 1}{ n (1+e)}$.
Et à droite je trouve : $\dfrac{e^x - 1}{2n}$.
C'est ça ?
Tu peux donc en déduire la limite de $I_n$.
Du coup j'ai.
Alors je trouve à gauche : $\dfrac{e^n - 1}{ n (1+e)}$.
Et à droite je trouve : $\dfrac{e^n - 1}{2n}$.
La limite c'est donc quand $n$ tend vers $+\infty$ ??
Et pour la deuxième limite je fais comment ?
Merci
Pour la deuxième limite tu as juste à diviser ton encadrement par $e^n$ - qui est non nul donc tu as le droit de diviser par cette quantité - et tu simplifies les expressions de droite et gauche puis tu passes à la limite.
On a le résultat suivant en calcul intégral:
Si pour tout $x\in[a,b]$ , $f(x)\leq g(x)$ et si $f,g$ sont continues sur cet intervalle alors $\int_a^b f(x)dx\leq \int_a^b g(x)dx$
C'est la seconde limite qui pose problème $\dfrac{I_n}{e^n}$ ... j'ai divisé les 2 membres (celui de gauche et celui de droite) mais j’aboutis à des formes indéterminées... Vous pourriez me donner un début s.v.p