intégrale

Pour tout $x$ appartenant à $[0,1]$, $e^{nx} + e^{(n+1)x} = e^{nx} (e^x + 1)$.
Tu devrais pouvoir t'en sortir à partir de cette remarque.

Il serait temps que j'apprenne le Latex...

[À ton service. skyffer3]

$I_n + I_{n+1} = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^{nx} + e^{(n+1)x}}{1+ e^x} \mathrm d x$

Et je te dis que tu peux factoriser le numérateur par $e^{nx}$, ce qui te donne $e^{nx}(1 + e^x)$ et donc tu peux simplifier ce qu'il y a dans ton intégrale.
L'expression que tu avais obtenue dans ton premier post est fausse !

Par linéarité de l'intégrale...

$I_n =\displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^{nx}}{1 + e^x}\,\mathrm dx$
$I_{n+1} = \displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^{(n+1)x}}{1+ e^x}\,\mathrm dx$
Donc la somme des deux est $\displaystyle \int_0^1 \dfrac{e^{nx} + e^{(n+1)x}}{1+ e^x}\, \mathrm d x$.

As-tu fait les questions précédentes ? Si oui j'ai du mal à voir pourquoi tu bloques, avec ces questions tu devrais voir assez bien ce qui [se] passe lors de chaque calcul.

J'ai plutôt $I_n + I_{n+1} = \dfrac{e^n-1}{n}$.

Pour la c, commence par étudier la fonction $f$ qui à $x$ associe $\dfrac{1}{1+ e^x}$ sur $[0,1]$, tu pourras en déduire un encadrement de $f$ sur cet intervalle et tu seras tout proche d'obtenir l'inégalité demandée.

En fait : selon moi si on essaye directement d'étudier $\dfrac{e^{nx}}{1+ e^x}$ on se complique un peu la vie, on doit dériver un quotient pour en déduire les variations, bref c'est chiant.

En étudiant $\dfrac{1}{1+ e^x}$ on a juste à dériver (car c'est bien continue/dérivable sur $\R$) pour avoir les variations sur $[0,1]$ et en déduire un encadrement sur cet intervalle.
Puis il suffit de multiplier par $e^{nx}$ (qui est bien supérieur à $1$ pour tout réel dans $[0,1]$) pour avoir l'encadrement demandé par la question !

On peut se contenter d'étudier la fonction $h(x)=1+e^x$ pour obtenir l'encadrement demandé.

On a le résultat suivant en calcul intégral:

Si pour tout $x\in[a,b]$ , $f(x)\leq g(x)$ et si $f,g$ sont continues sur cet intervalle alors $\int_a^b f(x)dx\leq \int_a^b g(x)dx$