Valeur close d'une intégrale
Réponses
-
Numériquement (pc), c'est une intégrale convergente : $ I=-0.6931471805599455 $
-
Tu ne reconnais pas cette valeur? B-)-
PS:
Je suis sérieux.
PS2:
On peut calculer ce truc, par ailleurs.
PS3:
Je n'ai pas eu besoin de le faire mais tu peux demander à l'inverseur de Plouffe.
Suis ton Karma...
https://isc.carma.newcastle.edu.au/ -
$-ln(2)$ 8-) merci.
Mais est-qu'on peut avoir une méthode théorique. -
$\displaystyle I=\int_0^1 \ln \left( \sin \Big(\frac{\pi}2x\Big) \right) dx$
$\displaystyle J=\int_0^1 \ln \left( \cos \Big(\frac{\pi}2x\Big) \right) dx$ (ligne rectifiée)
On peut montrer par le changement de variable $y=1-x$ que ces deux intégrales sont égales.
Ainsi,
$\begin{align}
2I&=\int_0^1 \ln \left( \sin \Big(\frac{\pi}2x\Big) \right) dx+\int_0^1 \ln \left( \sin \Big(\frac{\pi}2x\Big) \right) dx\\
&=\int_0^1 \ln \left( \sin \Big(\frac{\pi}2x\Big)\cos \Big(\frac{\pi}2x\Big) \right) dx\\
&=\int_0^1 \ln \left(\dfrac{1}{2}\sin\left(\pi x\right)\right)dx\\
&=\int_0^1 \ln \left(\sin(\pi x)\right)dx-\ln 2
\end{align}$
$\begin{align}\int_0^1 \ln \left(\sin(\pi x)\right)dx=\int_0^{\tfrac{1}{2}} \ln \left(\sin(\pi x)\right)dx+\int_{\tfrac{1}{2}}^1 \ln \left(\sin(\pi x)\right)dx\\
\end{align}$
Dans la deuxième intégrale on fait le changement de variable $y=1-x$,
$\begin{align}\int_0^1 \ln \left(\sin(\pi x)\right)dx=\int_0^{\tfrac{1}{2}} \ln \left(\sin(\pi x)\right)dx+\int_0^{\tfrac{1}{2}} \ln \left(\cos(\pi x)\right)dx\\
\end{align}$
Dans les deux intégrales ont fait le changement de variable $y=2x$,
$\begin{align}\int_0^1 \ln \left(\sin(\pi x)\right)dx&=\dfrac{1}{2}\int_0^{1} \ln \left(\sin\left (\dfrac{\pi}{2}x\right)\right)dx+\dfrac{1}{2}\int_0^{1} \ln \left(\cos\left (\dfrac{\pi}{2}x\right)\right)dx\\
&=\dfrac{1}{2}(I+J)\\
&=I
\end{align}$
On a donc,
$\boxed{I=-\ln 2}$
PS:
Un copier-coller trop rapide rendait étrange le début de ce calcul. Merci à Gerard0 pour sa vigilance. (tu) -
Bonjour,
La même, en plus court :
$$
\begin{align}I=&\int_0^1\ln\left(\sin\left(\frac\pi 2x\right)\right)\mathrm{d}x \\ = & \int_0^{\frac 12}\ln\left(\sin\left(\frac\pi 2x\right)\right)\mathrm{d}x+\int_{\frac 12}^1\ln\left(\sin\left(\frac\pi 2x\right)\right)\mathrm{d}x \\ = & \int_0^{\frac 12}\ln\left(\sin\left(\frac\pi 2x\right)\right)\mathrm{d}x+\int_0^{\frac 12}\ln\left(\cos\left(\frac\pi 2x\right)\right)\mathrm{d}x \\
=& \int_0^{\frac 12}\ln\left(\sin\left(\frac\pi 2x\right)\cos\left(\frac\pi 2x\right)\right)\mathrm{d}x \\
=& -\frac 12\ln(2)+\int_0^{\frac 12}\ln\left(\sin\left(\pi x\right)\right)\mathrm{d}x\\ =& -\frac 12\ln(2)+\frac 12I \\ =&-\ln(2)\end{align}$$
Je me rappelle que l'intégrale $\displaystyle\int_0^{\frac \pi 2}\ln(\sin(x))\mathrm{d}x$ était présentée dans une des méthodes de calcul du Méthodix Analyse, que je lisais lorsque j'étais à la fac. Je n'ai jamais oublié ce petit calcul, qui est assez surprenant lorsqu'on le voit pour la première fois. -
On a $\displaystyle \int_0^1 \ln \left( \sin \Big(\frac{\pi}2x\Big) \right) dx$ $\displaystyle =\int_0^1 \ln \left( \sin
\Big(\frac{\pi}2x\Big) \right) dx$
On a même $\displaystyle \int_0^1 \ln \left( \cos \Big(\frac{\pi}2x\Big) \right) dx$ $\displaystyle =\int_0^1 \ln \left( \cos
\Big(\frac{\pi}2x\Big) \right) dx$
Et le résultat suit. -
Salut,
Celui-ci m'a fait le même effet : http://www.les-mathematiques.net/phorum/read.php?3,1382172,1383054#msg-1383054Phillippe Malot a écrit:Je n'ai jamais oublié ce petit calcul, qui est assez surprenant lorsqu'on le voit pour la première fois.
En espérant que L2M puisse en tirer profit.
Cordialement. -
@pourexemple: Oui, je me souviens avoir vu cette intégrale dans un livre de Jean-Marie Monier, et de m'être fait la même remarque que toi par la suite.
-
Pldx1:
Je n'ai pas compris l'intérêt de tes deux égalités.
Tu as écris un truc comme $2=2$ et $3=3$. B-)- -
Fin de partie : Tu as défini $J$ comme étant égal à $I$.
-
Je me suis permis d'ouvrir un fil sur ce sujet : Résultats incroyables mais vrai
Pour éviter les hors sujet ici et que le sujet m'intéresse au plus haut point. -
Il y a d'autres façons de calculer cette intégrale.
Mais cette méthode est la plus étonnante. -
Si vous voulez un calcul dans la même veine, voici cette expression à calculer:
$\displaystyle \int_0^{\tfrac{\pi}{4}}\ln(\cos x-\sin x)\ln(\cos x) dx - \int_0^{\tfrac{\pi}{4}}\ln(\cos x+\sin x)\ln(\sin x)dx$
PS:
Il y a aussi cette expression,
$\displaystyle \int_0^{\tfrac{\pi}{4}} \ln(\sin x)\ln(\cos x-\sin x)dx-\displaystyle \int_0^{\tfrac{\pi}{4}} \ln(\cos)\ln(\cos x-\sin x)dx$
qui semble être la cousine de la première, voire sa soeur jumelle si on ne regarde pas attentivement. B-)-
Sauf, qu'à ma connaissance, il n'y a pas de truc astucieux rapide pour calculer cette dernière (mais toutes les deux se calculent).
(En fait, je suis en train de me demander si je ne suis pas passé à côté d'un truc. Il faut que je regarde ça dès que j'ai le temps) -
1/2*Catalan*ln(2)
-
C'est vrai. Le calcul de la première expression, même s'il est dans la même veine que le calcul proposé par L2M, est un peu plus "sportif". X:-(
-
Fin de partie
Il y a d'autres façons de calculer cette intégrale.
Mais cette méthode est la plus étonnante.
Je vais vous présenter une méthode plus étrange, puisque j’adore tout ce qui somme comme $\sum_{k=1}^{n} f(\frac{k\pi}{2n})$.
A suivre ... -
Sachant que \begin{align*}
\prod_{k=1}^{n} \sin \left(\frac{k\pi}{2n} \right)&= \frac{\sqrt n}{2^{n-1} } \\
\sum_{k=1}^n \ln \left( \sin \Big(\frac{k\pi}{2n} \Big) \right) &= \ln \left( \frac{\sqrt n}{2^{n-1} } \right) = \frac{\ln n}2+\ln2-n\ln2 \\
\frac 1n \sum_{k=1}^n \ln \left( \sin \Big(\frac{k\pi}{2n} \Big) \right)& = \frac{\ln n}{2n}+\frac{\ln 2}n- \ln2.
\end{align*} La suite vous la connaissez. -
Salut @YvesM.
-
En résumé, on a $$\int_{0}^{\pi /4}\!\ln \left( {\tan \left( x \right) } \right) \,{\rm d}x+{\it Catalan}=0$$ agrémenté de quelques déguisements.
Connectez-vous ou Inscrivez-vous pour répondre.
Bonjour!
Catégories
- 163.1K Toutes les catégories
- 7 Collège/Lycée
- 21.9K Algèbre
- 37.1K Analyse
- 6.2K Arithmétique
- 52 Catégories et structures
- 1K Combinatoire et Graphes
- 11 Sciences des données
- 5K Concours et Examens
- 11 CultureMath
- 47 Enseignement à distance
- 2.9K Fondements et Logique
- 10.3K Géométrie
- 62 Géométrie différentielle
- 1.1K Histoire des Mathématiques
- 68 Informatique théorique
- 3.8K LaTeX
- 39K Les-mathématiques
- 3.5K Livres, articles, revues, (...)
- 2.7K Logiciels pour les mathématiques
- 24 Mathématiques et finance
- 312 Mathématiques et Physique
- 4.9K Mathématiques et Société
- 3.3K Pédagogie, enseignement, orientation
- 10K Probabilités, théorie de la mesure
- 772 Shtam
- 4.2K Statistiques
- 3.7K Topologie
- 1.4K Vie du Forum et de ses membres
In this Discussion
Qui est en ligne 11
+9 Invités