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involutions réelles continues ?

Envoyé par pourexemple 
involutions réelles continues ?
20 avril 2017, 10:51
avatar
Salut,

A-t-on $\{f\in C(\R)\mid f \circ f= \text{id et } f\neq \text{ id} \}=\{x \rightarrow a-x \mid a\in \R\}$ ?

Cordialement.



Modifié 2 fois. Dernière modification le 20/04/2017 12:28 par AD.
Re: Qui sont les involutions réels continues ?
20 avril 2017, 10:58
avatar
J'ai vu qu'au moins une partie de la réponse est sur le net, alors même question avec les trilutions $f \circ f \circ f =\text{id}$
Puis les n-lutions.

Pour aller plus loin : [www.les-mathematiques.net]



Modifié 1 fois. Dernière modification le 20/04/2017 10:59 par pourexemple.
Re: involutions réelles continues ?
20 avril 2017, 13:53
Si $g$ est continue et bijective et $f$ involutive continue alors $gfg^{-1}gfg^{-1}=id$, donc $gfg^{-1}$ est une involution continue. Même principe pour "les n-lutions" comme tu les appelles. Donc réponse non à toutes tes questions.

Problème de précision: que signifie $C(\R)$? J'ai fait comme si ça voulait dire $C^0(\R,\R)$.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: involutions réelles continues ?
20 avril 2017, 14:08
avatar
@CC : bravo.

Oui, tu as supposé la bonne chose mais de toutes les façons cela reste vrai même si on suppose que $$C(\R)\in \{C^p(\R,\R)|p \in \N \cup \{\infty\} \}$$
Re: involutions réelles continues ?
20 avril 2017, 14:14
Merci pour ton bravo, mais je n'ai rien résolu, j'ai juste dit que les $x\mapsto a-x$ ne sont pas les seules, ce qui, sans vouloir apparaître "jouant le modeste" aux néophytes, ne mérite pas forcément un "bravo" (euphémisme) winking smiley

En fait, la raison de mon post est que je craignais que tu aies oublié de taper une condition ou que $C(\R)$ ait une signification que j'allais apprendre avec surprise... Apparemment non, tant mieux alors.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: involutions réelles continues ?
20 avril 2017, 14:20
avatar
Il me semble si $ f \circ f \circ f=id$ sur $\R$ alors $f=id$sur $\R$ ( on démontre que f est injective donc f est strictement monotone donc ...)

Signature: Je suis de passage .
Re: involutions réelles continues ?
20 avril 2017, 14:21
avatar
@CC : Tu sais très bien qu'il existe des résultats très simple et qu'il est très difficile de mobiliser devant certains problèmes (c'est comme si on les oubliait), si tu ne le sais pas regarde ici : [www.les-mathematiques.net]



Modifié 1 fois. Dernière modification le 20/04/2017 14:21 par pourexemple.
Re: involutions réelles continues ?
20 avril 2017, 14:29
La seule involution croissante et continue de $\mathbb{R}$ dans $\mathbb{R}$ est l'identité cependant ^^
Et sinon, pour les involutions continues et décroissantes sont toutes conjuguées à $-Id$...
Re: involutions réelles continues ?
20 avril 2017, 14:38
avatar
Citation
BobbyJoe
Et sinon, pour les involutions continues et décroissantes sont toutes conjuguées à $-Id$...

Cela va au-delà de mes compétences actuelles.
Re: involutions réelles continues ?
20 avril 2017, 14:53
Cela signifie probablement, si on en croit Bob, qu'elles sont toutes de la forme $x\mapsto g(-h(x))$ avec $g,h$ continues et réciproques l'une de l'autre.

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: involutions réelles continues ?
20 avril 2017, 14:59
avatar
Oui, j'ai bien compris, j'exprimais juste que je ne saurais expliquer pourquoi.
Re: involutions réelles continues ?
20 avril 2017, 15:01
avatar
Si $f \circ f= \text{id }$ alors f est injective, en effet si $f(x)=f(y)$ alors $f \circ f (x)=f \circ f (y)$ d'ou $x=y$
donc f est strictement croissante ou strictement decroissante
- si f est strictement croissante
si f(x)<x (resp. f(x)>x) alors $x=f\circ f(x)<f(x)<x$ (resp. $x=f\circ f(x)>f(x)>x$) on tombe sur une contradiction donc $f(x)=x$ c'est a dire $f=id$
- si f est strictement décroissante
grinning smiley

Signature: Je suis de passage .
Re: involutions réelles continues ?
21 avril 2017, 20:15
Citation

on tombe sur une contradiction

Anecdote (un peu HS et pour info à gebrane): tu peux écrire << $x\leq f(x)\to x=f(x)$ et $x\geq f(x)\to x=f(x)$ donc $x=f(x)$>>, ce qui t'évite un raisonnement par l'absurde apparent (mais tu exploites tout pareil $[x\leq f(x)$ ou $x\geq f(x)]$, qui est admis dans ce cas)

Signature: aide les autres comme toi-même car ils SONT toi, ils SONT VRAIMENT toi
Re: involutions réelles continues ?
21 avril 2017, 20:31
avatar
oui tu as raison si $x\leq f(x)$ alors $ f(x)\leq f\circ f(x)=x$
Je suis bête,

Signature: Je suis de passage .


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